№ 20.13 Геометрія = № 41.13 Математика
На малюнку 20.13 $AD=AB$, $CD=CB$. Доведіть, що точки $B$ і $D$ симетричні відносно прямої $AC$.
Розв’язок:
$AD=AB$; $CD=CB$. $AC$ — спільна сторона $\bigtriangleup ADC$ і $\bigtriangleup ABC$, тоді $\bigtriangleup ADC=\bigtriangleup ABC$ (за трьома сторонами).
Звідси $\angle DCA=\angle BCA$.
Проведемо $BD$, $BD$ перетинає $AC$ в т. $K$.
$\bigtriangleup CDK=\bigtriangleup CBK$, бо $CD=CB$ (за умовою); $\angle DCK=\angle BCK$ (доведено вище); $CK$ — спільна сторона.
З рівності $\bigtriangleup CDK$ і $\bigtriangleup CBK$:
1) $DK=BK$;
2) $\angle DKC=\angle BKC$, а $\angle DKC+\angle BKC=180^{\circ}$ (суміжні), тому $\angle DKC=\angle BKC=90^{\circ}$. Отже, $BD \perp AC$.
Тоді $D$ і $B$ симетричні відносно $AC$.