№ 20.14 Геометрія = № 41.14 Математика
На малюнку 20.14 $AB=BC$, $AD=DC$. Доведіть, що точки $A$ і $C$ симетричні відносно прямої $BD$.
Розв’язок:
$\bigtriangleup ABD=\bigtriangleup CBD$ (за III ознакою рівності трикутників: $AB=CB$, $AD=CD$, $BD$ — спільна сторона).
Нехай $AC \cap DB=K$. З рівності трикутників $\angle ADB=\angle CDB$, а оскільки точка $K$ лежить на відрізку $DB$, то $\angle ADK=\angle ADB$ і $\angle CDK=\angle CDB$, тому $\angle ADK=\angle CDK$.
$\bigtriangleup ADK=\bigtriangleup CDK$ (за I ознакою рівності трикутників: $DA=DC$ (за умовою), $DK$ — спільна сторона, $\angle ADK=\angle CDK$ (доведено вище)).
З рівності трикутників: $AK=KC$, $\angle AKD=\angle CKD$.
Оскільки $\angle AKD+\angle CKD=180^{\circ}$ (як суміжні), то $\angle AKD=\angle CKD=90^{\circ}$.
Отже, $AC \perp DK$ і $AK=CK$.
Тому точки $A$ і $C$ симетричні відносно прямої $BD$.