№ 20.23 Геометрія = № 41.23 Математика
(Київська математична олімпіада, 1993 р.) Дано три ненульові вектори $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ і $\overrightarrow{c}$, які попарно неколінеарні. Доведіть, що коли вектор $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ колінеарний вектору $\overrightarrow{c}$, а вектор $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ колінеарний вектору $\overrightarrow{a}$, то вектор $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$ колінеарний вектору $\overrightarrow{b}$. Знайдіть суму векторів $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.
Розв’язок:
За умовою задачі:
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{c}$ (де $k\neq0$, оскільки вектори ненульові та неколінеарні)
$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}$ (де $m\neq0$)
Віднімемо ці рівності:
$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})-(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=k\overrightarrow{c}-m\overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}=k\overrightarrow{c}-m\overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}$
$\overrightarrow{a}(1+m)=\overrightarrow{c}(k+1)$
Оскільки вектори $\overrightarrow{a}$ та $\overrightarrow{c}$ неколінеарні, ця рівність можлива лише тоді, коли коефіцієнти дорівнюють нулю:
$1+m=0 \Rightarrow m=-1$
$k+1=0 \Rightarrow k=-1$
Отже:
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{c} \Rightarrow \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$
$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a} \Rightarrow \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$
З рівності $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ випливає, що $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{b}$, а це означає, що вектор $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$ колінеарний вектору $\overrightarrow{b}$.
Сума векторів $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$.
Відповідь:
$\overrightarrow{0}$.