№ 21.11 Геометрія = № 42.11 Математика
Побудуйте точки, у які переходять точки $A(3;-1)$, $B(-2;2)$, $C(1;2)$, $D(-4;-4)$ при повороті на $90^{\circ}$ проти годинникової стрілки навколо початку координат. Укажіть координати одержаних точок.
Розв’язок:
При повороті на $90^{\circ}$ проти годинникової стрілки навколо початку координат точка $(x;y)$ переходить у точку $(-y;x)$.
Обґрунтуємо це. Нехай $P(x;y)$, а $P_{1}(x;0)$ — основа перпендикуляра, опущеного з точки $P$ на вісь $Ox$. При повороті на $90^{\circ}$ проти годинникової стрілки навколо початку координат додатна піввісь $Ox$ переходить у додатну піввісь $Oy$, а додатна піввісь $Oy$ — у від’ємну піввісь $Ox$. Поворот зберігає відстані й кути, тому точка $P_{1}$ переходить у точку $P_{1}'(0;x)$, а відрізок $P_{1}P$, перпендикулярний до осі $Ox$, — у рівний йому відрізок $P_{1}'P'$, перпендикулярний до осі $Oy$. Тому $P'(-y;x)$.
Застосуємо це правило до кожної точки:
$A(3;-1) \rightarrow A'(1;3)$
$B(-2;2) \rightarrow B'(-2;-2)$
$C(1;2) \rightarrow C'(-2;1)$
$D(-4;-4) \rightarrow D'(4;-4)$
Відповідь:
$A'(1;3)$, $B'(-2;-2)$, $C'(-2;1)$, $D'(4;-4)$.