№ 21.12 Геометрія = № 42.12 Математика
Побудуйте точки, у які переходять точки $M(-4;2)$, $N(1;-1)$, $K(4;3)$, $L(-2;-2)$ при повороті на $90^{\circ}$ за годинниковою стрілкою навколо початку координат. Укажіть координати одержаних точок.
Розв’язок:
При повороті точки $(x;y)$ на $90^{\circ}$ за годинниковою стрілкою навколо початку координат вона переходить у точку $(y;-x)$.
Обґрунтуємо це. Нехай $P(x;y)$, а $P_{1}(x;0)$ — основа перпендикуляра, опущеного з точки $P$ на вісь $Ox$. При повороті на $90^{\circ}$ за годинниковою стрілкою навколо початку координат додатна піввісь $Ox$ переходить у від’ємну піввісь $Oy$, а додатна піввісь $Oy$ — у додатну піввісь $Ox$. Поворот зберігає відстані й кути, тому точка $P_{1}$ переходить у точку $P_{1}'(0;-x)$, а відрізок $P_{1}P$, перпендикулярний до осі $Ox$, — у рівний йому відрізок $P_{1}'P'$, перпендикулярний до осі $Oy$. Тому $P'(y;-x)$.
Застосуємо це правило до кожної точки:
$M(-4;2) \rightarrow M'(2;-(-4))=M'(2;4)$
$N(1;-1) \rightarrow N'(-1;-1)$
$K(4;3) \rightarrow K'(3;-4)$
$L(-2;-2) \rightarrow L'(-2;-(-2))=L'(-2;2)$
Відповідь:
$M'(2;4)$, $N'(-1;-1)$, $K'(3;-4)$, $L'(-2;2)$.