№ 22.24 Геометрія = № 43.24 Математика
Кожне з трьох рівних між собою кіл радіуса $r$ дотикається до двох інших. Знайдіть площу трикутника, утвореного спільними дотичними до цих кіл.
Розв’язок:
$AB$, $BC$, $AC$ — спільні дотичні до даних кіл (попарно); $\bigtriangleup ABC$ — рівносторонній.
$\angle B=\angle C=\angle A=60^{\circ}$.
$O_{2}K \perp CB$, $O_{3}M \perp CB$, $O_{2}O_{3}=KM=2r$.
$BO_{2}$ — бісектриса $\angle B$.
З $\bigtriangleup BO_{2}K$ — прямокутний:
$BK=r\cdot\text{ctg}\angle O_{2}BK=r\cdot\text{ctg}30^{\circ}=r\sqrt{3}$.
$CM=BK=r\sqrt{3}$,
тоді $CB=2r+2\cdot r\sqrt{3}=2r(1+\sqrt{3})$.
$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{CB^{2}\sqrt{3}}{4}=$
$=\frac{(2r(1+\sqrt{3}))^{2}\cdot\sqrt{3}}{4}=$
$=\frac{4r^{2}(1+2\sqrt{3}+3)\cdot\sqrt{3}}{4}=$
$=r^{2}(4+2\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}=$
$=r^{2}(4\sqrt{3}+6)=$
$=2r^{2}(2\sqrt{3}+3)$.
Відповідь:
$2r^{2}(2\sqrt{3}+3)$.