№ 24.22 Геометрія = № 45.22 Математика
Спільну хорду двох кіл, що перетинаються, видно з їх центрів під кутами $90^{\circ}$ і $60^{\circ}$. Знайдіть радіуси кіл, якщо відстань між їх центрами дорівнює $\sqrt{3}+1$. Скільки випадків слід розглянути?
Розв’язок:
1 випадок:
Центри кіл $O$ і $O_{1}$ по один бік від $AB$.
$OO_{1}=\sqrt{3}+1$; $OO_{1} \perp AB$; $OO_{1} \cap AB=K$.
$\angle AO_{1}K=\frac{1}{2}\angle AO_{1}B=45^{\circ}$;
$\angle AOK=\frac{1}{2}\angle AOB=30^{\circ}$.
Нехай $AK=x$, тоді $O_{1}K=x$; $OK=x\sqrt{3}$.
$OO_{1}=OK-O_{1}K=$
$=x\sqrt{3}-x=\sqrt{3}+1$;
$x(\sqrt{3}-1)=\sqrt{3}+1$;
$x=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=2+\sqrt{3}$ (см).
Звідси:
$O_{1}A=AK\ :\cos 45^{\circ}=$
$=(2+\sqrt{3})\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{6}$ (см).
$r=2\sqrt{2}+\sqrt{6}$ (см).
$OA=AK\ :\cos 60^{\circ}=(2+\sqrt{3})\ :\frac{1}{2}=4+2\sqrt{3}$ (см).
$R=4+2\sqrt{3}$ (см).
2 випадок:
Центри кіл $O$ і $O_{1}$ по різні боки від хорди $AB$.
$OO_{1} \cap AB=K$. $\bigtriangleup O_{1}AK$ — прямокутний, $\angle O_{1}AK=45^{\circ}$.
$\bigtriangleup OAK$ — прямокутний, $\angle OAK=60^{\circ}$.
Нехай $AK=x$, тоді $O_{1}K=AK\cdot tg45^{\circ}=x\cdot1=x$.
$OK=AK\cdot tg60^{\circ}=x\sqrt{3}$.
За умовою задачі $x+x\sqrt{3}=\sqrt{3}+1$;
$x(1+\sqrt{3})=\sqrt{3}+1$;
$x=1$.
$AK=1$. Тоді:
$O_{1}A=AK\ :\cos 45^{\circ}=1\ :\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ (см).
$OA=AK\ :\cos 60^{\circ}=1\ :\frac{1}{2}=2$ (см).
Тобто $r=\sqrt{2}$ см; $R=2$ см.
Відповідь:
1) $2\sqrt{2}+\sqrt{6}$ та $4+2\sqrt{3}$см.
2) $\sqrt{2}$ та $2$см.