№ 23 ВПР 5 Геометрія = № 23 ВПТ 9 Математика
На кожній зі сторін кута позначили по точці на однаковій відстані від його вершини. Доведіть, що ці точки симетричні відносно прямої, яка містить бісектрису кута.
Розв’язок:
На сторонах кута $O$ відклали $OA=OA'$. $OK$ — бісектриса; $OK \cap AA'=C$.
$OA=OA'$ за умовою.
$\angle AOC=\angle A'OC$ (властивість бісектриси кута).
$OC$ — спільна сторона $\bigtriangleup OCA$ і $\bigtriangleup OA'C$.
Отже, $\bigtriangleup OCA=\bigtriangleup OA'C$ (за двома сторонами і кутом між ними).
З рівності трикутників випливає:
$AC=A'C$ та $\angle ACO=\angle A'CO$.
Оскільки ці кути суміжні, їх сума дорівнює $180^{\circ}$. Тому $\angle ACO=90^{\circ}$, тобто $AC \perp OK$.
Оскільки $AC=A'C$ та $AA' \perp OK$, то пряма $OK$ є серединним перпендикуляром до відрізка $AA'$.
Отже, точки $A$ і $A'$ симетричні відносно прямої $OK$.
Що й треба було довести.