№ 26.22 Геометрія = № 52.22 Математика
Один з кутів трикутника дорівнює $120^{\circ}$, а його сторони утворюють арифметичну прогресію. Знайдіть відношення сторін трикутника.
Розв’язок:
Нехай сторони трикутника дорівнюють $a$, $a+d$, $a+2d$, де $a>0$ та $d>0$. Найбільша сторона $a+2d$ лежить проти найбільшого кута — кута $120^{\circ}$.
За теоремою косинусів:
$(a+2d)^{2}=$
$=a^{2}+(a+d)^{2}-2a(a+d)cos120^{\circ}$
Оскільки $\cos 120^{\circ}=-0{,}5$, то $-2a(a+d)\cos 120^{\circ}=a(a+d)$:
$a^{2}+4ad+4d^{2}=$
$=a^{2}+(a^{2}+2ad+d^{2})+(a^{2}+ad)$
$a^{2}+4ad+4d^{2}=$
$=3a^{2}+3ad+d^{2}$
$2a^{2}-ad-3d^{2}=0$
Поділимо рівняння на $d^{2}$ (де $d\neq0$) і позначимо $x=\frac{a}{d}$:
$2x^{2}-x-3=0$
Корені: $x=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{4}=\frac{1\pm5}{4}$.
Оскільки $x>0$, то $x=\frac{6}{4}=1{,}5$, тобто $a=1{,}5d$.
Сторони трикутника:
$a=1{,}5d$, $a+d=2{,}5d$, $a+2d=3{,}5d$.
Відношення сторін:
$1{,}5d\ :2{,}5d\ :3{,}5d=3\ :5\ :7$
Перевірка: для сторін $3$, $5$, $7$ маємо $7^{2}=3^{2}+5^{2}-2\cdot3\cdot5\cos 120^{\circ}$, тобто $49=9+25+15=49$.
Відповідь:
$3\ :5\ :7$.