№ 27.18 Геометрія = № 53.18 Математика
Радіус кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, дорівнює бічній стороні трикутника. Знайдіть площу трикутника, якщо його основа дорівнює $a$.
Розв’язок:
Нехай $ABC$ — рівнобедрений трикутник, у якому $AC=a$ (основа), $AB=BC=b$ (бічні сторони). Нехай $R$ — радіус описаного кола. За умовою $R=b$.
Площа трикутника $S$ виражається через радіус описаного кола за формулою:
$S=\frac{abc}{4R}$
Оскільки $b=R$, підставимо це значення у формулу:
$S=\frac{a\cdot b\cdot b}{4b}=\frac{ab^{2}}{4b}=\frac{ab}{4}$
З іншого боку, площа трикутника $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$, де $h$ — висота, проведена до основи $a$.
За теоремою Піфагора для половини трикутника:
$h=\sqrt{b^{2}-\left( \frac{a}{2} \right)^{2}}=\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{4}}$
Прирівняємо два вирази для площі:
$\frac{ab}{4}=\frac{a}{2}\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{4}}$
Поділимо обидві частини на $\frac{a}{2}$:
$\frac{b}{2}=\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{4}}$
Піднесемо до квадрата:
$\frac{b^{2}}{4}=b^{2}-\frac{a^{2}}{4}$
$\frac{a^{2}}{4}=b^{2}-\frac{b^{2}}{4}=\frac{3b^{2}}{4}$
$a^{2}=3b^{2} \Longrightarrow$
$b^{2}=\frac{a^{2}}{3} \Longrightarrow b=\frac{a}{\sqrt{3}}$
Підставимо знайдене значення $b$ у формулу площі $S=\frac{ab}{4}$:
$S=\frac{a\cdot\frac{a}{\sqrt{3}}}{4}=\frac{a^{2}}{4\sqrt{3}}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{12}$
Відповідь:
$\frac{a^{2}\sqrt{3}}{12}$.