№ 28.21 Геометрія = № 54.21 Математика
$h_{1},h_{2},h_{3}$ — висоти трикутника, $\left( \frac{h_{1}}{h_{2}} \right)^{2}+\left( \frac{h_{1}}{h_{3}} \right)^{2}=1$. Доведіть, що трикутник прямокутний.
Розв’язок:
Нехай $a,b,c$ — сторони трикутника, до яких проведено висоти $h_{1},h_{2},h_{3}$ відповідно.
Площа трикутника $S$ виражається через сторони та висоти:
$S=\frac{1}{2}ah_{1}=\frac{1}{2}bh_{2}=\frac{1}{2}ch_{3}$
Звідси виразимо висоти:
$h_{1}=\frac{2S}{a},\quad h_{2}=\frac{2S}{b},\quad h_{3}=\frac{2S}{c}$
Підставимо ці вирази в умову задачі:
$\left( \frac{\frac{2S}{a}}{\frac{2S}{b}} \right)^{2}+\left( \frac{\frac{2S}{a}}{\frac{2S}{c}} \right)^{2}=1$
$\left( \frac{b}{a} \right)^{2}+\left( \frac{c}{a} \right)^{2}=1$
$\frac{b^{2}+c^{2}}{a^{2}}=1$
$b^{2}+c^{2}=a^{2}$
За теоремою, оберненою до теореми Піфагора, трикутник є прямокутним з гіпотенузою $a$.
Що й треба було довести.
Відповідь:
Доведено.