№ 30.14 Геометрія = № 56.14 Математика
Катети прямокутного трикутника дорівнюють $a$ см і $b$ см. Знайдіть відношення площ, на які ділить трикутник висота, проведена до гіпотенузи.
Розв’язок:
У $\bigtriangleup ABC$: $AC=a$; $CB=b$; $\angle C=90^{\circ}$; $CK \perp AB$.
Нехай $\angle B=\alpha$, тоді $\angle A=90^{\circ}-\alpha$.
$\bigtriangleup CBK$ — прямокутний:
$CK=CB\cdot sin\alpha=b\sin\alpha$
$BK=CB\cdot cos\alpha=b\cos\alpha$
$S_{\bigtriangleup CBK}=\frac{1}{2}\cdot CK\cdot BK=$
$=\frac{1}{2}\cdot b\sin\alpha\cdot b\cos\alpha=\frac{1}{2}b^{2}\sin\alpha\cos\alpha$
$\bigtriangleup ACK$ — прямокутний:
$CK=AC\cdot cos\alpha=a\cos\alpha$
$AK=AC\cdot sin\alpha=a\sin\alpha$
$S_{\bigtriangleup ACK}=\frac{1}{2}\cdot CK\cdot AK=$
$=\frac{1}{2}\cdot a\cos\alpha\cdot a\sin\alpha=\frac{1}{2}a^{2}\sin\alpha\cos\alpha$
Відношення площ (трикутник, прилеглий до катета $AC=a$, до трикутника, прилеглого до катета $CB=b$):
$\frac{S_{\bigtriangleup ACK}}{S_{\bigtriangleup CBK}}=\frac{\frac{1}{2}a^{2}\sin\alpha\cos\alpha}{\frac{1}{2}b^{2}\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{a^{2}}{b^{2}}$
Відповідь:
$a^{2}\ :b^{2}$.