№ 31.18 Геометрія = № 57.18 Математика
У $\bigtriangleup ABC$ бісектриси $AK$ і $BM$ перетинаються в точці $I$, $AI\ :IK=2\ :1$, $BI\ :IM=4\ :1$. Знайдіть найбільший кут трикутника $ABC$.
Розв’язок:
Нехай $AB=c$, $BC=a$, $AC=b$.
За властивістю бісектриси $BI$ у трикутнику $ABK$:
$\frac{AB}{BK}=\frac{AI}{IK}=2 \Longrightarrow BK=\frac{c}{2}$.
Тоді $KC=a-\frac{c}{2}$.
За теоремою про бісектрису кута $A$ у трикутнику $ABC$:
$\frac{AB}{AC}=\frac{BK}{KC} \Longrightarrow$
$\frac{c}{b}=\frac{c/2}{a-c/2}=\frac{c}{2a-c}$.
Звідси $b=2a-c$, або $2a=b+c$.
За властивістю бісектриси $AI$ у трикутнику $ABM$:
$\frac{AB}{AM}=\frac{BI}{IM}=4 \Longrightarrow AM=\frac{c}{4}$.
Тоді $MC=b-\frac{c}{4}$.
За теоремою про бісектрису кута $B$ у трикутнику $ABC$:
$\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{MC} \Longrightarrow$
$\frac{c}{a}=\frac{c/4}{b-c/4}=\frac{c}{4b-c}$.
Звідси $a=4b-c$, або $4b=a+c$.
Маємо систему рівнянь:
1) $2a=b+c$
2) $4b=a+c$
Віднімаючи від першого рівняння друге:
$2a-4b=b-a \Longrightarrow$
$3a=5b \Longrightarrow b=0{,}6a$.
Підставимо $b$ у перше рівняння:
$2a=0{,}6a+c \Longrightarrow c=1{,}4a$.
Сторони трикутника пропорційні числам $1$, $0{,}6$, $1{,}4$. Найбільша сторона — $c=1{,}4a$, отже, найбільший кут лежить проти неї (кут $C$).
За теоремою косинусів:
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$
$(1{,}4a)^{2}=a^{2}+(0{,}6a)^{2}-2\cdot a\cdot0{,}6a\cdot cosC$
$1{,}96a^{2}=a^{2}+0{,}36a^{2}-1{,}2a^{2}\cos C$
$1{,}96=1{,}36-1{,}2\cos C$
$0{,}6=-1{,}2\cos C$
$\cos C=-0{,}5$
$C=120^{\circ}$.
Відповідь:
$120^{\circ}$.