№ 32.18 Геометрія = № 58.18 Математика
Сторона правильного трикутника дорівнює $6$ см. Із його центра описано коло, радіус якого дорівнює $2$ см. Знайдіть площу частини трикутника, що лежить поза кругом, яке обмежує описане коло.
Розв’язок:
Площа правильного трикутника зі стороною $a=6$ см:
$S_{\bigtriangleup}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\text{ (см}^{2}\text{)}$
Відстань від центра трикутника до сторін (радіус вписаного кола):
$r_{вк}=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}\text{ (см)}$
Оскільки $r=2>\sqrt{3}$, коло перетинає кожну сторону трикутника. Площа частини трикутника, що лежить всередині круга, дорівнює площі круга мінус три сегменти, що виходять за межі трикутника.
Кут сектора, що відповідає сегменту за межами сторони: $\cos\alpha=\frac{r_{вк}}{r}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, отже $\alpha=30^{\circ}$. Центральний кут сегмента $60^{\circ}$.
Площа одного сегмента:
$S_{\text{сегм}}=S_{\text{сект}}-S_{\bigtriangleup \text{центр}}=$
$=\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot\pi r^{2}-\frac{1}{2}r^{2}\sin 60^{\circ}=$
$=\frac{1}{6}\cdot4\pi-\frac{1}{2}\cdot4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}$
Площа частини трикутника всередині круга:
$S_{\text{внутр}}=\pi r^{2}-3\cdot S_{\text{сегм}}=$
$=4\pi-3\left( \frac{2\pi}{3}-\sqrt{3} \right)=$
$=4\pi-2\pi+3\sqrt{3}=2\pi+3\sqrt{3}$
Площа частини трикутника поза кругом:
$S=S_{\bigtriangleup}-S_{\text{внутр}}=$
$=9\sqrt{3}-\left( 2\pi+3\sqrt{3} \right)=$
$=6\sqrt{3}-2\pi=2(3\sqrt{3}-\pi)\text{ (см}^{2}\text{)}$
Відповідь:
$2(3\sqrt{3}-\pi)$ см$^{2}$.