№ 32.17 Геометрія = № 58.17 Математика
Якими плитками, що мають форму правильних многокутників, можна покрити підлогу, якщо використовують:
1) один вид плитки;
2) два види плитки?
Наведіть приклади покриття (відходами знехтувати).
Розв’язок:
1) Щоб покрити площину правильними многокутниками одного виду, внутрішній кут многокутника $\alpha$ має бути дільником $360^{\circ}$. Внутрішній кут правильного $n$-кутника обчислюється за формулою $\alpha=\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}$.
- Для $n=3$ (рівносторонній трикутник): $\alpha=60^{\circ}$. Оскільки $360^{\circ}\ :60^{\circ}=6$, то навколо однієї вершини можна розмістити $6$ трикутників.
- Для $n=4$ (квадрат): $\alpha=90^{\circ}$. Оскільки $360^{\circ}\ :90^{\circ}=4$, то навколо однієї вершини можна розмістити $4$ квадрати.
- Для $n=6$ (правильний шестикутник): $\alpha=120^{\circ}$. Оскільки $360^{\circ}\ :120^{\circ}=3$, то навколо однієї вершини можна розмістити $3$ шестикутники.
Інші правильні многокутники не можуть покрити площину без зазорів.
2) Покриття двома видами плиток можливе, якщо сума кутів многокутників, що сходяться в одній вершині, дорівнює $360^{\circ}$.
Приклади:
- Квадрати та восьмикутники (у кожній вершині сходяться один квадрат і два восьмикутники: $90^{\circ}+135^{\circ}+135^{\circ}=360^{\circ}$).
- Рівносторонні трикутники та правильні шестикутники (у кожній вершині сходяться два трикутники і два шестикутники: $60^{\circ}+60^{\circ}+120^{\circ}+120^{\circ}=360^{\circ}$).
Відповідь:
1) Рівносторонні трикутники, квадрати, правильні шестикутники.
2) Наприклад, квадрати та восьмикутники; рівносторонні трикутники та правильні шестикутники.