№ 33.17 Геометрія = № 59.17 Математика
Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює $c$, а радіус вписаного кола — $r$. Знайдіть площу трикутника.
Розв’язок:
Нехай катети прямокутного трикутника дорівнюють $a$ та $b$, а гіпотенуза — $c$.
Радіус вписаного кола $r$ у прямокутному трикутнику обчислюється за формулою:
$r=\frac{a+b-c}{2}$
Звідси виразимо суму катетів:
$a+b=2r+c$
Піднесемо обидві частини рівності до квадрата:
$(a+b)^{2}=(2r+c)^{2}$
$a^{2}+2ab+b^{2}=4r^{2}+4rc+c^{2}$
Оскільки за теоремою Піфагора $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, підставимо це значення у рівняння:
$c^{2}+2ab=4r^{2}+4rc+c^{2}$
$2ab=4r^{2}+4rc$
$ab=2r^{2}+2rc$
Площа прямокутного трикутника $S$ дорівнює половині добутку його катетів:
$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\left( 2r^{2}+2rc \right)=$
$=r^{2}+rc=r(r+c)$
Відповідь:
$r(r+c)$.