№ 56 ВПР 6 Геометрія = № 56 ВПТ 11 Математика
Знайдіть відношення об’єму кулі радіуса $r$ до об’єму правильної шестикутної призми, кожне ребро якої дорівнює $r$.
Розв’язок:
Об’єм кулі радіуса $r$ обчислюється за формулою:
$V_{\text{кулі}}=\frac{4}{3}\pi r^{3}$
Основою правильної шестикутної призми є правильний шестикутник зі стороною $r$. Його площа:
$S_{\text{осн}}=6\cdot\frac{r^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^{2}$
Оскільки кожне ребро призми дорівнює $r$, то висота призми $h=r$.
Об’єм призми:
$V_{\text{призми}}=S_{\text{осн}}\cdot h=$
$=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^{2}\cdot r=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^{3}$
Знайдемо відношення об’єму кулі до об’єму призми:
$\frac{V_{\text{кулі}}}{V_{\text{призми}}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^{3}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}r^{3}}=$
$=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{8\pi}{9\sqrt{3}}$
Позбудемося ірраціональності в знаменнику:
$\frac{8\pi}{9\sqrt{3}}=\frac{8\pi\sqrt{3}}{9\cdot3}=\frac{8\pi\sqrt{3}}{27}$
Відповідь:
$\frac{8\pi\sqrt{3}}{27}$.