№ 1 ЗПС = № 1 ЗПС
Вершини чотирикутника $ABCD$ мають координати $A(x_{1};y_{1})$, $B(x_{2};y_{2})$, $C(x_{3};y_{3})$, $D(x_{4};y_{4})$. Доведіть, що цей чотирикутник є паралелограмом тоді й тільки тоді, коли $x_{1}+x_{3}=x_{2}+x_{4}$ і $y_{1}+y_{3}=y_{2}+y_{4}$.
Розв’язок:
Чотирикутник $ABCD$ — паралелограм, якщо діагоналі його перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.
$O_{1}$ — середина $AC$:
$O_{1}\left( \frac{x_{1}+x_{3}}{2};\frac{y_{1}+y_{3}}{2} \right)$
$O_{2}$ — середина $BD$:
$O_{2}\left( \frac{x_{2}+x_{4}}{2};\frac{y_{2}+y_{4}}{2} \right)$
$O_{1}$ і $O_{2}$ повинні збігатися, тобто:
$\frac{x_{1}+x_{3}}{2}=\frac{x_{2}+x_{4}}{2}$, звідси $x_{1}+x_{3}=x_{2}+x_{4}$
$\frac{y_{1}+y_{3}}{2}=\frac{y_{2}+y_{4}}{2}$, звідси $y_{1}+y_{3}=y_{2}+y_{4}$