№ 2 ЗПС = № 2 ЗПС
Кінці відрізка $AB$ мають координати $A(x_{1};y_{1})$ і $B(x_{2};y_{2})$. Точка $M(x;y)$ ділить відрізок $AB$ у відношенні $\frac{AM}{MB}=\lambda$. Доведіть, що координати точки $M$ можна знайти за формулами:
$x=\frac{x_{1}+\lambda x_{2}}{1+\lambda},y=\frac{y_{1}+\lambda y_{2}}{1+\lambda}$
Розв’язок:
Якщо $AM\ :MB=\lambda$, то $A_{1}M_{1}\ :M_{1}B_{1}=\lambda$.
$A_{1}M_{1}=x-x_{1}$; $M_{1}B_{1}=x_{2}-x$, тоді
$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x}=\lambda$
$x-x_{1}=\lambda x_{2}-\lambda x$
$\lambda x+x=x_{1}+\lambda x_{2}$
$x(1+\lambda)=x_{1}+\lambda x_{2}$
$x=\frac{x_{1}+\lambda x_{2}}{1+\lambda}$
Аналогічно: $A_{2}M_{2}=\lambda\cdot B_{2}M_{2}$; $y-y_{1}=\lambda(y_{2}-y)$; $y-y_{1}=\lambda y_{2}-\lambda y$; $y+\lambda y=y_{1}+\lambda y_{2}$;
$y=\frac{y_{1}+\lambda y_{2}}{1+\lambda}$
Отже, $M\left( \frac{x_{1}+\lambda x_{2}}{1+\lambda},\frac{y_{1}+\lambda y_{2}}{1+\lambda} \right)$.