№ 77 ЗПС = № 77 ЗПС
У конус вписано кулю так, що вона дотикається до основи конуса і його бічної поверхні. Доведіть, що відношення повної поверхні конуса до поверхні кулі дорівнює відношенню їх об’ємів.
Розв’язок:
Нехай $R$ — радіус основи конуса, $H$ — його висота, $L$ — твірна, $r$ — радіус вписаної кулі.
Осьовим перерізом конуса є рівнобедрений трикутник з основою $2R$ та висотою $H$. Куля в перерізі дає коло радіуса $r$, вписане в цей трикутник.
З подібності трикутників або за формулою радіуса вписаного кола $r=\frac{S}{p}$, де $S=RH$ — площа половини перерізу, $p=R+L$ — півпериметр, маємо:
$r=\frac{RH}{R+L}$
Повна поверхня конуса:
$S_{\text{кон}}=\pi R^{2}+\pi RL=\pi R(R+L)$
Поверхня кулі:
$S_{\text{кул}}=4\pi r^{2}$
Відношення поверхонь:
$\frac{S_{\text{кон}}}{S_{\text{кул}}}=\frac{\pi R(R+L)}{4\pi r^{2}}=\frac{R(R+L)}{4r^{2}}$
Об’єм конуса:
$V_{\text{кон}}=\frac{1}{3}\pi R^{2}H$
Об’єм кулі:
$V_{\text{кул}}=\frac{4}{3}\pi r^{3}$
Відношення об’ємів:
$\frac{V_{\text{кон}}}{V_{\text{кул}}}=\frac{\frac{1}{3}\pi R^{2}H}{\frac{4}{3}\pi r^{3}}=\frac{R^{2}H}{4r^{3}}$
Підставимо вираз $H=\frac{r(R+L)}{R}$ у відношення об’ємів:
$\frac{V_{\text{кон}}}{V_{\text{кул}}}=\frac{R^{2}\cdot\frac{r(R+L)}{R}}{4r^{3}}=$
$=\frac{R\cdot r(R+L)}{4r^{3}}=\frac{R(R+L)}{4r^{2}}$
Оскільки відношення поверхонь і відношення об’ємів дорівнюють одному й тому самому виразу $\frac{R(R+L)}{4r^{2}}$, то вони рівні.
Що й треба було довести.