№ 76 ЗПС = № 76 ЗПС
Трикутник зі сторонами $10$ см, $17$ см і $21$ см обертається навколо більшої сторони. Обчисліть:
1) об’єм утвореної фігури обертання;
2) поверхню утвореної фігури обертання.
Розв’язок:
При обертанні трикутника навколо сторони $c=21$ см утворюється фігура, що складається з двох конусів зі спільною основою. Радіус основи $r$ дорівнює висоті трикутника $h_{c}$, проведеної до сторони $21$ см.
Знайдемо площу трикутника за формулою Герона. Півпериметр:
$p=\frac{10+17+21}{2}=24\text{ (см)}$
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=$
$=\sqrt{24\cdot(24-10)\cdot(24-17)\cdot(24-21)}=$
$=\sqrt{24\cdot14\cdot7\cdot3}=$
$=\sqrt{7056}=84\text{ (см}^{2}\text{)}$
Висота $h_{c}$:
$S=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_{c}$
$84=\frac{1}{2}\cdot21\cdot h_{c}$
$h_{c}=8\text{ (см)}$
Отже, $r=8$ см. Висоти конусів $h_{1}$ та $h_{2}$ є відрізками, на які висота ділить сторону $21$ см. За теоремою Піфагора:
$h_{1}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=$
$=\sqrt{100-64}=6\text{ (см)}$
$h_{2}=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=$
$=\sqrt{289-64}=15\text{ (см)}$
1) Об’єм фігури:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h_{1}+\frac{1}{3}\pi r^{2}h_{2}=$
$=\frac{1}{3}\pi r^{2}(h_{1}+h_{2})=$
$=\frac{1}{3}\pi\cdot8^{2}\cdot21=$
$=64\cdot7\pi=448\pi\text{ (см}^{3}\text{)}$
2) Площа поверхні (сума бічних поверхонь конусів):
$S_{\text{біч}}=\pi rl_{1}+\pi rl_{2}=$
$=\pi r(l_{1}+l_{2})=$
$=\pi\cdot8\cdot(10+17)=$
$=8\cdot27\pi=216\pi\text{ (см}^{2}\text{)}$
Відповідь:
1) $448\pi$ см$^{3}$;
2) $216\pi$ см$^{2}$.