№ 9 ЗПЗ 9 кл Геометрія = № 9 ЗПЗ 9 кл Геометрія
Дві сторони трикутника дорівнюють $1$ см і $4\sqrt{2}$ см. Знайдіть третю сторону, якщо вона у $\sqrt{2}$ разів більша за радіус кола, описаного навколо трикутника. Скільки розв’язків має задача?
Розв’язок:
Нехай $R$ — радіус описаного кола, тоді третя сторона $c=R\sqrt{2}$ см.
За формулою радіуса описаного кола $R=\frac{abc}{4S}$, звідки $S=\frac{abc}{4R}$.
Підставимо значення сторін $a=1$, $b=4\sqrt{2}$ та $c=R\sqrt{2}$:
$S=\frac{1\cdot4\sqrt{2}\cdot R\sqrt{2}}{4R}=$
$=\frac{4\cdot2\cdot R}{4R}=2\text{ (см}^{2}\text{)}$
З іншого боку, площа трикутника $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin\gamma$, де $\gamma$ — кут між відомими сторонами:
$S=\frac{1}{2}\cdot1\cdot4\sqrt{2}\cdot sin\gamma=2\sqrt{2}\sin\gamma$
Прирівняємо отримані значення площі:
$2\sqrt{2}\sin\gamma=2$
$\sin\gamma=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Отже, $\gamma=45^{\circ}$ або $\gamma=135^{\circ}$.
1 випадок: $\gamma=45^{\circ}$. За теоремою косинусів:
$c^{2}=1^{2}+(4\sqrt{2})^{2}-2\cdot1\cdot4\sqrt{2}\cdot\cos 45^{\circ}=$
$=1+32-8\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=$
$=33-8=25$
$c=5\text{ (см)}$
2 випадок: $\gamma=135^{\circ}$. За теоремою косинусів:
$c^{2}=1^{2}+(4\sqrt{2})^{2}-2\cdot1\cdot4\sqrt{2}\cdot\cos 135^{\circ}=$
$=1+32-8\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=$
$=33+8=41$
$c=\sqrt{41}\text{ (см)}$
Відповідь:
$5$ см або $\sqrt{41}$ см; задача має $2$ розв’язки.