Сторінка 122
ДР-1 [2М]. Нерівності
Варіант 1
1. (1 бал.) Запишіть проміжок, зображений на малюнку.
1)
2)
Розв'язок:
1) Точку $-2$ зафарбовано — число $-2$ належить проміжку; штриховка — ліворуч від $-2$.
2) Точку $3$ зафарбовано, а точку $7$ — ні: число $3$ належить проміжку, число $7$ — не належить.
Відповідь: 1) $(-\infty; -2]$;
2) $[3; 7)$.
2. (1 бал.) Порівняйте вирази, якщо $m \lt n$:
1) $m + 2$ і $n + 2$;
2) $2{,}1m$ і $2{,}1n$;
3) $-m$ і $-n$;
4) $-3m$ і $-3n$.
Розв'язок:
1) До обох частин нерівності $m \lt n$ додамо $2$: $m + 2 \lt n + 2$.
2) Обидві частини помножимо на додатне число $2{,}1$ — знак нерівності не змінюється: $2{,}1m \lt 2{,}1n$.
3) Обидві частини помножимо на $-1$ — знак нерівності змінюється на протилежний: $-m \gt -n$.
4) Обидві частини помножимо на від'ємне число $-3$ — знак змінюється на протилежний: $-3m \gt -3n$.
Відповідь: 1) $m + 2 \lt n + 2$;
2) $2{,}1m \lt 2{,}1n$;
3) $-m \gt -n$;
4) $-3m \gt -3n$.
3. (2 бали.) Розв'яжіть нерівність:
1) $4x \ge 18$;
2) $4 - 2x \lt 10 + x$.
Розв'язок:
1) $4x \ge 18$
$x \ge 18 : 4$
$x \ge 4{,}5$
2) $4 - 2x \lt 10 + x$
$-2x - x \lt 10 - 4$
$-3x \lt 6$
$x \gt -2$
Відповідь: 1) $[4{,}5; +\infty)$;
2) $(-2; +\infty)$.
4. (2 бали.) Розв'яжіть систему нерівностей:
1) $\begin{cases} 3x - 4 \ge 5, \\ 2x + 5 \lt 17; \end{cases}$
2) $\begin{cases} 5(x - 1) \gt 6x, \\ 4x - 3 \gt 2(x + 1). \end{cases}$
Розв'язок:
1) $\begin{cases} 3x \ge 9, \\ 2x \lt 12; \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge 3, \\ x \lt 6. \end{cases}$
Перетин проміжків $[3; +\infty)$ і $(-\infty; 6)$ — проміжок $[3; 6)$.
2) $\begin{cases} 5x - 5 \gt 6x, \\ 4x - 3 \gt 2x + 2; \end{cases}$
$\begin{cases} -x \gt 5, \\ 2x \gt 5; \end{cases}$
$\begin{cases} x \lt -5, \\ x \gt 2{,}5. \end{cases}$
Проміжки $(-\infty; -5)$ і $(2{,}5; +\infty)$ не мають спільних точок, тому система розв'язків не має.
Відповідь: 1) $[3; 6)$;
2) розв'язків немає.
5. (2 бали.) Знайдіть множину розв'язків нерівності:
1) $\frac{x + 3}{5} + \frac{x}{10} \gt \frac{6}{5}$;
2) $(x - 4)(x + 4) - 2x(2 - x) \lt$
$\lt 3(x + 1)^2$.
Розв'язок:
1) $\frac{x + 3}{5} + \frac{x}{10} \gt \frac{6}{5} \quad | \cdot 10$
$2(x + 3) + x \gt 12$
$2x + 6 + x \gt 12$
$3x \gt 6$
$x \gt 2$
2) $(x - 4)(x + 4) - 2x(2 - x) \lt$
$\lt 3(x + 1)^2$
$x^2 - 16 - 4x + 2x^2 \lt 3(x^2 + 2x + 1)$
$3x^2 - 4x - 16 \lt 3x^2 + 6x + 3$
$-4x - 6x \lt 3 + 16$
$-10x \lt 19$
$x \gt -1{,}9$
Відповідь: 1) $(2; +\infty)$;
2) $(-1{,}9; +\infty)$.
6. (2 бали.) Відомо, що $10 \lt a \lt 20$, $2 \lt b \lt 5$. Оцініть значення виразу:
1) $4a - 3b$;
2) $\frac{a}{b}$.
Розв'язок:
1) Помножимо нерівність $10 \lt a \lt 20$ на $4$: $40 \lt 4a \lt 80$.
Помножимо нерівність $2 \lt b \lt 5$ на $-3$: $-15 \lt -3b \lt -6$.
Додамо почленно:
$40 + (-15) \lt 4a - 3b \lt 80 + (-6)$
$25 \lt 4a - 3b \lt 74$
2) Оскільки $2 \lt b \lt 5$, то $\frac{1}{5} \lt \frac{1}{b} \lt \frac{1}{2}$.
Перемножимо почленно нерівності з додатними частинами $10 \lt a \lt 20$ і $\frac{1}{5} \lt \frac{1}{b} \lt \frac{1}{2}$:
$10 \cdot \frac{1}{5} \lt a \cdot \frac{1}{b} \lt 20 \cdot \frac{1}{2}$
$2 \lt \frac{a}{b} \lt 10$
Відповідь: 1) $25 \lt 4a - 3b \lt 74$;
2) $2 \lt \frac{a}{b} \lt 10$.
7. (2 бали.) За яких значень $a$ квадратне рівняння $x^2 - 2(a - 1)x + a^2 = 0$ має два різних корені?
Розв'язок:
Квадратне рівняння має два різних корені, якщо його дискримінант додатний.
$D = (-2(a - 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot a^2 =$
$= 4(a^2 - 2a + 1) - 4a^2 =$
$= 4a^2 - 8a + 4 - 4a^2 = -8a + 4$.
$-8a + 4 \gt 0$
$-8a \gt -4$
$a \lt 0{,}5$
Відповідь: $a \lt 0{,}5$, тобто $a \in (-\infty; 0{,}5)$.