Сторінка 123
1. (1 бал.) Запишіть проміжок, зображений на малюнку.
1)
2)
Розв'язок:
1) Точку $3$ не зафарбовано — число $3$ не належить проміжку; штриховка — праворуч від $3$.
2) Точку $-1$ не зафарбовано, а точку $4$ — зафарбовано: число $-1$ не належить проміжку, число $4$ — належить.
Відповідь: 1) $(3; +\infty)$;
2) $(-1; 4]$.
2. (1 бал.) Порівняйте вирази, якщо $a \gt b$:
1) $a + 3$ і $b + 3$;
2) $1{,}7a$ і $1{,}7b$;
3) $-a$ і $-b$;
4) $-2a$ і $-2b$.
Розв'язок:
1) До обох частин нерівності $a \gt b$ додамо $3$: $a + 3 \gt b + 3$.
2) Обидві частини помножимо на додатне число $1{,}7$ — знак нерівності не змінюється: $1{,}7a \gt 1{,}7b$.
3) Обидві частини помножимо на $-1$ — знак нерівності змінюється на протилежний: $-a \lt -b$.
4) Обидві частини помножимо на від'ємне число $-2$ — знак змінюється на протилежний: $-2a \lt -2b$.
Відповідь: 1) $a + 3 \gt b + 3$;
2) $1{,}7a \gt 1{,}7b$;
3) $-a \lt -b$;
4) $-2a \lt -2b$.
3. (2 бали.) Розв'яжіть нерівність:
1) $6x \le 9$;
2) $5 - 3x \gt 17 + x$.
Розв'язок:
1) $6x \le 9$
$x \le 9 : 6$
$x \le 1{,}5$
2) $5 - 3x \gt 17 + x$
$-3x - x \gt 17 - 5$
$-4x \gt 12$
$x \lt -3$
Відповідь: 1) $(-\infty; 1{,}5]$;
2) $(-\infty; -3)$.
4. (2 бали.) Розв'яжіть систему нерівностей:
1) $\begin{cases} 4x - 5 \ge 11, \\ 3x + 2 \lt 20; \end{cases}$
2) $\begin{cases} 6(x - 1) \gt 7x, \\ 5x - 4 \gt 3(x + 1). \end{cases}$
Розв'язок:
1) $\begin{cases} 4x \ge 16, \\ 3x \lt 18; \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge 4, \\ x \lt 6. \end{cases}$
Перетин проміжків $[4; +\infty)$ і $(-\infty; 6)$ — проміжок $[4; 6)$.
2) $\begin{cases} 6x - 6 \gt 7x, \\ 5x - 4 \gt 3x + 3; \end{cases}$
$\begin{cases} -x \gt 6, \\ 2x \gt 7; \end{cases}$
$\begin{cases} x \lt -6, \\ x \gt 3{,}5. \end{cases}$
Проміжки $(-\infty; -6)$ і $(3{,}5; +\infty)$ не мають спільних точок, тому система розв'язків не має.
Відповідь: 1) $[4; 6)$;
2) розв'язків немає.
5. (2 бали.) Знайдіть множину розв'язків нерівності:
1) $\frac{x - 2}{3} + \frac{x}{6} \lt \frac{4}{3}$;
2) $(x - 5)(x + 5) - 2x(5 - x) \gt$
$\gt 3(x + 1)^2$.
Розв'язок:
1) $\frac{x - 2}{3} + \frac{x}{6} \lt \frac{4}{3} \quad | \cdot 6$
$2(x - 2) + x \lt 8$
$2x - 4 + x \lt 8$
$3x \lt 12$
$x \lt 4$
2) $(x - 5)(x + 5) - 2x(5 - x) \gt$
$\gt 3(x + 1)^2$
$x^2 - 25 - 10x + 2x^2 \gt$
$\gt 3(x^2 + 2x + 1)$
$3x^2 - 10x - 25 \gt 3x^2 + 6x + 3$
$-10x - 6x \gt 3 + 25$
$-16x \gt 28$
$x \lt -1{,}75$
Відповідь: 1) $(-\infty; 4)$;
2) $(-\infty; -1{,}75)$.
6. (2 бали.) Відомо, що $20 \lt a \lt 40$, $4 \lt b \lt 10$. Оцініть значення виразу:
1) $2a - 3b$;
2) $\frac{a}{b}$.
Розв'язок:
1) Помножимо нерівність $20 \lt a \lt 40$ на $2$: $40 \lt 2a \lt 80$.
Помножимо нерівність $4 \lt b \lt 10$ на $-3$: $-30 \lt -3b \lt -12$.
Додамо почленно:
$40 + (-30) \lt 2a - 3b \lt 80 + (-12)$
$10 \lt 2a - 3b \lt 68$
2) Оскільки $4 \lt b \lt 10$, то $\frac{1}{10} \lt \frac{1}{b} \lt \frac{1}{4}$.
Перемножимо почленно нерівності з додатними частинами $20 \lt a \lt 40$ і $\frac{1}{10} \lt \frac{1}{b} \lt \frac{1}{4}$:
$20 \cdot \frac{1}{10} \lt a \cdot \frac{1}{b} \lt 40 \cdot \frac{1}{4}$
$2 \lt \frac{a}{b} \lt 10$
Відповідь: 1) $10 \lt 2a - 3b \lt 68$;
2) $2 \lt \frac{a}{b} \lt 10$.
7. (2 бали.) За яких значень $a$ квадратне рівняння $x^2 - 2(a + 1)x + a^2 = 0$ не має дійсних коренів?
Розв'язок:
Квадратне рівняння не має дійсних коренів, якщо його дискримінант від'ємний.
$D = (-2(a + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot a^2 =$
$= 4(a^2 + 2a + 1) - 4a^2 =$
$= 4a^2 + 8a + 4 - 4a^2 = 8a + 4$.
$8a + 4 \lt 0$
$8a \lt -4$
$a \lt -0{,}5$
Відповідь: $a \lt -0{,}5$, тобто $a \in (-\infty; -0{,}5)$.