Сторінка 134
ЕК-1 [2М]. Нерівності
Варіант 1
Середній рівень
1. (1 бал.) Порівняйте вирази, якщо $a \gt b$:
1) $a - 3$ і $b - 3$;
2) $-\frac{a}{2}$ і $-\frac{b}{2}$.
Розв'язок:
1) Від обох частин нерівності $a \gt b$ віднімемо $3$: $a - 3 \gt b - 3$.
2) Обидві частини нерівності $a \gt b$ помножимо на від'ємне число $-\frac{1}{2}$ — знак нерівності змінюється на протилежний: $-\frac{a}{2} \lt -\frac{b}{2}$.
Відповідь: 1) $a - 3 \gt b - 3$;
2) $-\frac{a}{2} \lt -\frac{b}{2}$.
2. (1 бал.) Розв'яжіть нерівність $4 + x \lt 11 - 2x$.
Розв'язок:
$4 + x \lt 11 - 2x$
$x + 2x \lt 11 - 4$
$3x \lt 7$
$x \lt \frac{7}{3}$
$x \lt 2\frac{1}{3}$
Відповідь: $\left(-\infty; 2\frac{1}{3}\right)$.
3. (1 бал.) Розв'яжіть систему нерівностей
$\begin{cases} 3x - 4 \lt 8, \\ x + 6 \le 3x. \end{cases}$
Розв'язок:
$\begin{cases} 3x \lt 12, \\ x - 3x \le -6; \end{cases}$
$\begin{cases} 3x \lt 12, \\ -2x \le -6; \end{cases}$
$\begin{cases} x \lt 4, \\ x \ge 3. \end{cases}$
Перетин проміжків $(-\infty; 4)$ і $[3; +\infty)$ — проміжок $[3; 4)$.
Відповідь: $[3; 4)$.
Достатній рівень
1. (1 бал.) За яких значень змінної має зміст вираз $\sqrt{8 - 2x} + \frac{1}{x + 3}$?
Розв'язок:
Вираз має зміст, якщо вираз під коренем невід'ємний, а знаменник дробу не дорівнює нулю:
$\begin{cases} 8 - 2x \ge 0, \\ x + 3 \ne 0; \end{cases}$
$\begin{cases} -2x \ge -8, \\ x \ne -3; \end{cases}$
$\begin{cases} x \le 4, \\ x \ne -3. \end{cases}$
З проміжку $(-\infty; 4]$ треба вилучити число $-3$.
Відповідь: $(-\infty; -3) \cup (-3; 4]$.
2. (2 бали.) Знайдіть цілі розв'язки системи нерівностей
$\begin{cases} (x - 1)(x + 1) - x(x + 3) \gt 2x, \\ 2(x - 3) - 5(x + 2) \le -10. \end{cases}$
Розв'язок:
$\begin{cases} x^2 - 1 - x^2 - 3x \gt 2x, \\ 2x - 6 - 5x - 10 \le -10; \end{cases}$
$\begin{cases} -3x - 2x \gt 1, \\ -3x \le -10 + 16; \end{cases}$
$\begin{cases} -5x \gt 1, \\ -3x \le 6; \end{cases}$
$\begin{cases} x \lt -0{,}2, \\ x \ge -2. \end{cases}$
Розв'язок системи — проміжок $[-2; -0{,}2)$. Цілі числа з цього проміжку: $-2$; $-1$.
Відповідь: $-2$; $-1$.
Високий рівень
1. (1 бал.) За яких значень змінної має зміст вираз $\frac{5x}{\sqrt{3x - 7}} + \frac{2}{x^2 - 16} + \sqrt{6 - x}$?
Розв'язок:
Вираз під коренем у знаменнику першого дробу має бути додатним, знаменник другого дробу не дорівнює нулю, вираз під другим коренем — невід'ємний:
$\begin{cases} 3x - 7 \gt 0, \\ x^2 - 16 \ne 0, \\ 6 - x \ge 0; \end{cases}$
$\begin{cases} x \gt 2\frac{1}{3}, \\ x \ne -4, \ x \ne 4, \\ x \le 6. \end{cases}$
Розв'язок першої і третьої нерівностей — проміжок $\left(2\frac{1}{3}; 6\right]$; число $-4$ йому не належить, а число $4$ треба вилучити.
Відповідь: $\left(2\frac{1}{3}; 4\right) \cup (4; 6]$.
2. (2 бали.) Два натуральних числа відносяться як $2 : 7$, а їхня сума не більша за $56$. Яких значень може набувати більше із цих чисел?
Розв'язок:
Нехай числа дорівнюють $2k$ і $7k$. Оскільки $k = 7k - 3 \cdot 2k$, а $2k$ і $7k$ — натуральні, то $k$ — теж натуральне число.
$2k + 7k \le 56$
$9k \le 56$
$k \le 6\frac{2}{9}$
Отже, $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$, а більше число $7k$ дорівнює $7$; $14$; $21$; $28$; $35$; $42$.
Відповідь: $7$; $14$; $21$; $28$; $35$; $42$.