Сторінка 135
Середній рівень
1. (1 бал.) Порівняйте вирази, якщо $x \lt y$:
1) $x - 2$ і $y - 2$;
2) $-\frac{x}{3}$ і $-\frac{y}{3}$.
Розв'язок:
1) Від обох частин нерівності $x \lt y$ віднімемо $2$: $x - 2 \lt y - 2$.
2) Обидві частини нерівності $x \lt y$ помножимо на від'ємне число $-\frac{1}{3}$ — знак нерівності змінюється на протилежний: $-\frac{x}{3} \gt -\frac{y}{3}$.
Відповідь: 1) $x - 2 \lt y - 2$;
2) $-\frac{x}{3} \gt -\frac{y}{3}$.
2. (1 бал.) Розв'яжіть нерівність $5 + x \lt 12 - 3x$.
Розв'язок:
$5 + x \lt 12 - 3x$
$x + 3x \lt 12 - 5$
$4x \lt 7$
$x \lt 1{,}75$
Відповідь: $(-\infty; 1{,}75)$.
3. (1 бал.) Розв'яжіть систему нерівностей
$\begin{cases} 2x - 4 \le 6, \\ x + 9 \lt 4x. \end{cases}$
Розв'язок:
$\begin{cases} 2x \le 10, \\ x - 4x \lt -9; \end{cases}$
$\begin{cases} 2x \le 10, \\ -3x \lt -9; \end{cases}$
$\begin{cases} x \le 5, \\ x \gt 3. \end{cases}$
Перетин проміжків $(-\infty; 5]$ і $(3; +\infty)$ — проміжок $(3; 5]$.
Відповідь: $(3; 5]$.
Достатній рівень
1. (1 бал.) За яких значень змінної має зміст вираз $\sqrt{6 - 3x} + \frac{1}{x + 5}$?
Розв'язок:
Вираз має зміст, якщо вираз під коренем невід'ємний, а знаменник дробу не дорівнює нулю:
$\begin{cases} 6 - 3x \ge 0, \\ x + 5 \ne 0; \end{cases}$
$\begin{cases} -3x \ge -6, \\ x \ne -5; \end{cases}$
$\begin{cases} x \le 2, \\ x \ne -5. \end{cases}$
З проміжку $(-\infty; 2]$ треба вилучити число $-5$.
Відповідь: $(-\infty; -5) \cup (-5; 2]$.
2. (2 бали.) Знайдіть цілі розв'язки системи нерівностей
$\begin{cases} (x - 2)(x + 2) - x(x + 4) \gt 3x, \\ 2(x - 2) - 5(x + 3) \le -10. \end{cases}$
Розв'язок:
$\begin{cases} x^2 - 4 - x^2 - 4x \gt 3x, \\ 2x - 4 - 5x - 15 \le -10; \end{cases}$
$\begin{cases} -4x - 3x \gt 4, \\ -3x \le -10 + 19; \end{cases}$
$\begin{cases} -7x \gt 4, \\ -3x \le 9; \end{cases}$
$\begin{cases} x \lt -\frac{4}{7}, \\ x \ge -3. \end{cases}$
Розв'язок системи — проміжок $\left[-3; -\frac{4}{7}\right)$. Цілі числа з цього проміжку: $-3$; $-2$; $-1$.
Відповідь: $-3$; $-2$; $-1$.
Високий рівень
1. (1 бал.) За яких значень змінної має зміст вираз $\sqrt{4x - 9} + \frac{7}{x^2 - 25} + \frac{9x}{\sqrt{7 - x}}$?
Розв'язок:
Вираз під першим коренем має бути невід'ємним, знаменник першого дробу не дорівнює нулю, вираз під коренем у знаменнику другого дробу — додатний:
$\begin{cases} 4x - 9 \ge 0, \\ x^2 - 25 \ne 0, \\ 7 - x \gt 0; \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge 2{,}25, \\ x \ne -5, \ x \ne 5, \\ x \lt 7. \end{cases}$
Розв'язок першої і третьої нерівностей — проміжок $[2{,}25; 7)$; число $-5$ йому не належить, а число $5$ треба вилучити.
Відповідь: $[2{,}25; 5) \cup (5; 7)$.
2. (2 бали.) Два натуральних числа відносяться як $3 : 5$, а їхня сума не більша за $51$. Яких значень може набувати більше із цих чисел?
Розв'язок:
Нехай числа дорівнюють $3k$ і $5k$. Оскільки $k = 2 \cdot 3k - 5k$, а $3k$ і $5k$ — натуральні, то $k$ — теж натуральне число.
$3k + 5k \le 51$
$8k \le 51$
$k \le 6\frac{3}{8}$
Отже, $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$, а більше число $5k$ дорівнює $5$; $10$; $15$; $20$; $25$; $30$.
Відповідь: $5$; $10$; $15$; $20$; $25$; $30$.