Сторінка 29
240. Зобразіть на координатній прямій і запишіть проміжок, який задано умовою:
1) $x \gt 2$;
2) $x \le -3$;
3) $x \ge -1$;
4) $x \lt 5$;
5) $1{,}5 \le x \lt 2$;
6) $1\frac{1}{2} \le x \le 2\frac{1}{8}$;
7) $-1 \lt x \lt 17$;
8) $0 \lt x \le 0{,}01$;
9) $0 \le x \lt 8$.
Розв'язок:
1) $x \gt 2$ — проміжок $(2; +\infty)$.
2) $x \le -3$ — проміжок $(-\infty; -3]$.
3) $x \ge -1$ — проміжок $[-1; +\infty)$.
4) $x \lt 5$ — проміжок $(-\infty; 5)$.
5) $1{,}5 \le x \lt 2$ — проміжок $[1{,}5; 2)$.
6) $1\frac{1}{2} \le x \le 2\frac{1}{8}$ — проміжок $\left[1\frac{1}{2}; 2\frac{1}{8}\right]$.
7) $-1 \lt x \lt 17$ — проміжок $(-1; 17)$.
8) $0 \lt x \le 0{,}01$ — проміжок $(0; 0{,}01]$.
9) $0 \le x \lt 8$ — проміжок $[0; 8)$.
Відповідь: 1) $(2; +\infty)$;
2) $(-\infty; -3]$;
3) $[-1; +\infty)$;
4) $(-\infty; 5)$;
5) $[1{,}5; 2)$;
6) $\left[1\frac{1}{2}; 2\frac{1}{8}\right]$;
7) $(-1; 17)$;
8) $(0; 0{,}01]$;
9) $[0; 8)$.
241. Зобразіть на координатній прямій і запишіть проміжок, що задається нерівністю:
1) $x \ge 17$;
2) $x \lt 3{,}8$;
3) $1{,}2 \le x \lt 8$;
4) $5 \lt x \le 13$.
Розв'язок:
1) $x \ge 17$ — проміжок $[17; +\infty)$.
2) $x \lt 3{,}8$ — проміжок $(-\infty; 3{,}8)$.
3) $1{,}2 \le x \lt 8$ — проміжок $[1{,}2; 8)$.
4) $5 \lt x \le 13$ — проміжок $(5; 13]$.
Відповідь: 1) $[17; +\infty)$;
2) $(-\infty; 3{,}8)$;
3) $[1{,}2; 8)$;
4) $(5; 13]$.
242. Чи належить проміжку $[-2{,}5; 2{,}4]$ число:
1) $-2{,}7$;
2) $-2{,}1$;
3) $0$;
4) $1$;
5) $2{,}3$;
6) $2{,}41$?
Розв'язок:
Проміжку $[-2{,}5; 2{,}4]$ належать числа, для яких $-2{,}5 \le x \le 2{,}4$.
$-2{,}7 \lt -2{,}5$ — не належить;
$-2{,}5 \le -2{,}1 \le 2{,}4$ — належить;
$0$ і $1$ — належать;
$-2{,}5 \le 2{,}3 \le 2{,}4$ — належить;
$2{,}41 \gt 2{,}4$ — не належить.
Відповідь: 1) ні;
2) так;
3) так;
4) так;
5) так;
6) ні.
243. Чи належить проміжку $[-3{,}1; 1{,}7]$ число:
1) $-3{,}12$;
2) $-3{,}07$;
3) $0$;
4) $1$;
5) $1{,}7$;
6) $1{,}8$?
Розв'язок:
Проміжку $[-3{,}1; 1{,}7]$ належать числа, для яких $-3{,}1 \le x \le 1{,}7$.
$-3{,}12 \lt -3{,}1$ — не належить;
$-3{,}1 \le -3{,}07 \le 1{,}7$ — належить;
$0$ і $1$ — належать;
$1{,}7$ — належить (кінець проміжку входить до нього);
$1{,}8 \gt 1{,}7$ — не належить.
Відповідь: 1) ні;
2) так;
3) так;
4) так;
5) так;
6) ні.
244. Які цілі числа належать проміжку:
1) $(-4; -1)$;
2) $[-1{,}99; 0{,}01)$;
3) $(1; 2)$;
4) $[-1{,}6; 1{,}6]$?
Розв'язок:
1) $-4 \lt x \lt -1$: цілі числа $-3$, $-2$ (кінці $-4$ і $-1$ не належать проміжку).
2) $-1{,}99 \le x \lt 0{,}01$: цілі числа $-1$, $0$.
3) $1 \lt x \lt 2$: між числами $1$ і $2$ цілих чисел немає.
4) $-1{,}6 \le x \le 1{,}6$: цілі числа $-1$, $0$, $1$.
Відповідь: 1) $-3$; $-2$;
2) $-1$; $0$;
3) таких чисел немає;
4) $-1$; $0$; $1$.
245. Які натуральні числа належать проміжку:
1) $(-0{,}1; 5{,}1)$;
2) $[1; \sqrt{5})$;
3) $(-8; 0{,}9]$;
4) $\left[7\frac{1}{5}; \sqrt{65}\right]$?
Розв'язок:
1) Натуральні числа, менші за $5{,}1$: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$.
2) $\sqrt{4} \lt \sqrt{5} \lt \sqrt{9}$, тобто $2 \lt \sqrt{5} \lt 3$.
Натуральні числа: $1$, $2$.
3) Найменше натуральне число $1 \gt 0{,}9$, тож натуральних чисел у проміжку немає.
4) $\sqrt{64} \lt \sqrt{65} \lt \sqrt{81}$, тобто $8 \lt \sqrt{65} \lt 9$.
Натуральні числа від $7\frac{1}{5}$ до $\sqrt{65}$: лише $8$.
Відповідь: 1) $1$; $2$; $3$; $4$; $5$;
2) $1$; $2$;
3) таких чисел немає;
4) $8$.
246. Які з чисел $-1{,}2$; $-0{,}8$; $0$; $0{,}1$; $1{,}2$ належать проміжку:
1) $[-1{,}2; 0)$;
2) $(-1; 1)$;
3) $[-0{,}5; +\infty)$?
Розв'язок:
1) $-1{,}2 \le x \lt 0$: числа $-1{,}2$ і $-0{,}8$ ($0$ не належить — кінець проміжку не входить).
2) $-1 \lt x \lt 1$: числа $-0{,}8$, $0$, $0{,}1$.
3) $x \ge -0{,}5$: числа $0$, $0{,}1$, $1{,}2$.
Відповідь: 1) $-1{,}2$; $-0{,}8$;
2) $-0{,}8$; $0$; $0{,}1$;
3) $0$; $0{,}1$; $1{,}2$.
247. Укажіть деякі два додатних і два від'ємних числа, що належать проміжку $[-0{,}3; 0{,}2)$.
Розв'язок:
Проміжку належать числа, для яких $-0{,}3 \le x \lt 0{,}2$. Наприклад, додатні: $0{,}1$; $0{,}15$; від'ємні: $-0{,}1$; $-0{,}3$.
Відповідь: наприклад, $0{,}1$ і $0{,}15$; $-0{,}1$ і $-0{,}3$.
248. Укажіть деякі три від'ємних і три додатних числа, що належать проміжку $(-0{,}25; 0{,}2]$.
Розв'язок:
Проміжку належать числа, для яких $-0{,}25 \lt x \le 0{,}2$. Наприклад, від'ємні: $-0{,}1$; $-0{,}2$; $-0{,}24$; додатні: $0{,}05$; $0{,}1$; $0{,}2$.
Відповідь: наприклад, $-0{,}1$; $-0{,}2$; $-0{,}24$ і $0{,}05$; $0{,}1$; $0{,}2$.
249. Укажіть найбільше ціле число, яке належить проміжку:
1) $(-5; 11)$;
2) $(-\infty; -2)$;
3) $[0; 1{,}17]$;
4) $(-2; 0{,}99)$.
Розв'язок:
1) $x \lt 11$, число $11$ не належить проміжку, тож найбільше ціле — $10$.
2) $x \lt -2$, число $-2$ не належить проміжку, тож найбільше ціле — $-3$.
3) $x \le 1{,}17$, найбільше ціле — $1$.
4) $x \lt 0{,}99$, найбільше ціле — $0$.
Відповідь: 1) $10$;
2) $-3$;
3) $1$;
4) $0$.
250. Укажіть найменше ціле число, яке належить проміжку:
1) $(0; 12)$;
2) $(-5; -2)$;
3) $[2{,}1; +\infty)$;
4) $\left[-7\frac{1}{7}; -6\frac{4}{7}\right]$.
Розв'язок:
1) $x \gt 0$, число $0$ не належить проміжку, тож найменше ціле — $1$.
2) $x \gt -5$, число $-5$ не належить проміжку, тож найменше ціле — $-4$.
3) $x \ge 2{,}1$, найменше ціле — $3$.
4) $x \ge -7\frac{1}{7}$; $-8 \lt -7\frac{1}{7} \lt -7$, і $-7 \le -6\frac{4}{7}$, тож найменше ціле — $-7$.
Відповідь: 1) $1$;
2) $-4$;
3) $3$;
4) $-7$.
251. Чи належить проміжку $[2{,}5; 6{,}1)$ число:
1) $\sqrt{5}$;
2) $\sqrt{12}$;
3) $\sqrt{15}$;
4) $\sqrt{50}$?
Розв'язок:
$2{,}5 = \sqrt{6{,}25}$, $6{,}1 = \sqrt{37{,}21}$. Число $\sqrt{a}$ належить проміжку, якщо $6{,}25 \le a \lt 37{,}21$.
1) $5 \lt 6{,}25$, тож $\sqrt{5} \lt 2{,}5$ — не належить.
2) $6{,}25 \le 12 \lt 37{,}21$ — належить.
3) $6{,}25 \le 15 \lt 37{,}21$ — належить.
4) $50 \gt 37{,}21$, тож $\sqrt{50} \gt 6{,}1$ — не належить.
Відповідь: 1) ні;
2) так;
3) так;
4) ні.
252. Чи належить проміжку $[\sqrt{2}; 2{,}7)$ число:
1) $1{,}4$;
2) $1{,}5$;
3) $\sqrt{3}$;
4) $\sqrt{10}$?
Розв'язок:
$2{,}7 = \sqrt{7{,}29}$. Додатне число належить проміжку, якщо його квадрат не менший за $2$ і менший від $7{,}29$.
1) $1{,}4^2 = 1{,}96 \lt 2$, тож $1{,}4 \lt \sqrt{2}$ — не належить.
2) $1{,}5^2 = 2{,}25$; $2 \le 2{,}25 \lt 7{,}29$ — належить.
3) $(\sqrt{3})^2 = 3$; $2 \le 3 \lt 7{,}29$ — належить.
4) $(\sqrt{10})^2 = 10 \gt 7{,}29$, тож $\sqrt{10} \gt 2{,}7$ — не належить.
Відповідь: 1) ні;
2) так;
3) так;
4) ні.
253. Використовуючи координатну пряму, знайдіть перетин проміжків:
1) $[-4; 10]$ і $[7; 11]$;
2) $[-2; 3)$ і $(-1; 2]$;
3) $(-\infty; 4)$ і $(-\infty; 2]$;
4) $(-\infty; 2)$ і $[-2; +\infty)$;
5) $[2; 7)$ і $(2; 8)$;
6) $(-2; 3)$ і $(3; 5)$.
Розв'язок:
1) Спільна частина проміжків $[-4; 10]$ і $[7; 11]$ — проміжок $[7; 10]$.
2) Спільна частина проміжків $[-2; 3)$ і $(-1; 2]$ — проміжок $(-1; 2]$.
3) Спільна частина проміжків $(-\infty; 4)$ і $(-\infty; 2]$ — проміжок $(-\infty; 2]$.
4) Спільна частина проміжків $(-\infty; 2)$ і $[-2; +\infty)$ — проміжок $[-2; 2)$.
5) Спільна частина проміжків $[2; 7)$ і $(2; 8)$ — проміжок $(2; 7)$.
6) Проміжки $(-2; 3)$ і $(3; 5)$ не мають спільних точок — перетин порожній.
Відповідь: 1) $[7; 10]$;
2) $(-1; 2]$;
3) $(-\infty; 2]$;
4) $[-2; 2)$;
5) $(2; 7)$;
6) $\varnothing$.
254. Покажіть на координатній прямій і запишіть перетин проміжків:
1) $(-1; 7)$ і $(0; 15]$;
2) $(-3; 5)$ і $[-1; 1)$;
3) $(-\infty; 4)$ і $(2; 5]$;
4) $(-\infty; 0{,}01]$ і $[1{,}1; 5)$.
Розв'язок:
1) Спільна частина проміжків $(-1; 7)$ і $(0; 15]$ — проміжок $(0; 7)$.
2) Спільна частина проміжків $(-3; 5)$ і $[-1; 1)$ — проміжок $[-1; 1)$.
3) Спільна частина проміжків $(-\infty; 4)$ і $(2; 5]$ — проміжок $(2; 4)$.
4) Проміжки $(-\infty; 0{,}01]$ і $[1{,}1; 5)$ не мають спільних точок — перетин порожній.
Відповідь: 1) $(0; 7)$;
2) $[-1; 1)$;
3) $(2; 4)$;
4) $\varnothing$.