Сторінка 31
267. Розв'яжіть нерівність і запишіть множину її розв'язків у вигляді проміжку:
1) $0{,}3x \le 9$;
2) $-5x \gt 0{,}2$;
3) $-3x \ge 1{,}1$;
4) $0{,}8x \lt 16$.
Розв'язок:
1) $0{,}3x \le 9$
$x \le 9 : 0{,}3$
$x \le 30$
2) $-5x \gt 0{,}2$
$x \lt 0{,}2 : (-5)$
$x \lt -0{,}04$
3) $-3x \ge 1{,}1$
$x \le 1{,}1 : (-3)$
$x \le -\frac{11}{30}$
4) $0{,}8x \lt 16$
$x \lt 16 : 0{,}8$
$x \lt 20$
Відповідь: 1) $(-\infty; 30]$;
2) $(-\infty; -0{,}04)$;
3) $\left(-\infty; -\frac{11}{30}\right]$;
4) $(-\infty; 20)$.
268. Чи рівносильні нерівності:
1) $3x \ge 6$ і $-x \le 2$;
2) $8x \lt -16$ і $5x \lt -10$?
Розв'язок:
1) $3x \ge 6$, $x \ge 2$ — множина розв'язків $[2; +\infty)$.
$-x \le 2$, $x \ge -2$ — множина розв'язків $[-2; +\infty)$.
Множини розв'язків різні (наприклад, $x = 0$ — розв'язок другої нерівності, але не першої), тому нерівності не рівносильні.
2) $8x \lt -16$, $x \lt -2$.
$5x \lt -10$, $x \lt -2$.
Множини розв'язків однакові — $(-\infty; -2)$, тому нерівності рівносильні.
Відповідь: 1) ні;
2) так.
269. Чи рівносильні нерівності:
1) $2x \gt 0$ і $-3x \lt 0$;
2) $4x \ge 40$ і $3x \gt 30$?
Розв'язок:
1) $2x \gt 0$, $x \gt 0$.
$-3x \lt 0$, $x \gt 0$.
Множини розв'язків однакові — $(0; +\infty)$, тому нерівності рівносильні.
2) $4x \ge 40$, $x \ge 10$ — множина розв'язків $[10; +\infty)$.
$3x \gt 30$, $x \gt 10$ — множина розв'язків $(10; +\infty)$.
Число $10$ — розв'язок першої нерівності, але не другої, тому нерівності не рівносильні.
Відповідь: 1) так;
2) ні.
270. За яких значень $x$ функція $y = -2x$ набуває значень:
1) більших за $-12$;
2) не більших від $14$?
Розв'язок:
1) $-2x \gt -12$
$x \lt 6$
2) $-2x \le 14$
$x \ge -7$
Відповідь: 1) $(-\infty; 6)$;
2) $[-7; +\infty)$.
271. За яких значень $x$ функція $y = -6x$ набуває значень:
1) менших від $18$;
2) не менших за $-48$?
Розв'язок:
1) $-6x \lt 18$
$x \gt -3$
2) $-6x \ge -48$
$x \le 8$
Відповідь: 1) $(-3; +\infty)$;
2) $(-\infty; 8]$.
272. Розв'яжіть нерівність:
1) $13 + x \gt 17$;
2) $5 - x \le 3$;
3) $0{,}2 + x \ge 1$;
4) $0{,}5 - x \le 0$;
5) $1 + 3x \gt 10$;
6) $5x + 8 \lt 0$;
7) $6 - 5x \le 2$;
8) $9 - 12x \ge 0$;
9) $0{,}3x - 12 \gt 0$.
Розв'язок:
1) $13 + x \gt 17$
$x \gt 17 - 13$
$x \gt 4$
2) $5 - x \le 3$
$-x \le 3 - 5$
$-x \le -2$
$x \ge 2$
3) $0{,}2 + x \ge 1$
$x \ge 1 - 0{,}2$
$x \ge 0{,}8$
4) $0{,}5 - x \le 0$
$-x \le -0{,}5$
$x \ge 0{,}5$
5) $1 + 3x \gt 10$
$3x \gt 9$
$x \gt 3$
6) $5x + 8 \lt 0$
$5x \lt -8$
$x \lt -1{,}6$
7) $6 - 5x \le 2$
$-5x \le -4$
$x \ge 0{,}8$
8) $9 - 12x \ge 0$
$-12x \ge -9$
$x \le 0{,}75$
9) $0{,}3x - 12 \gt 0$
$0{,}3x \gt 12$
$x \gt 40$
Відповідь: 1) $(4; +\infty)$;
2) $[2; +\infty)$;
3) $[0{,}8; +\infty)$;
4) $[0{,}5; +\infty)$;
5) $(3; +\infty)$;
6) $(-\infty; -1{,}6)$;
7) $[0{,}8; +\infty)$;
8) $(-\infty; 0{,}75]$;
9) $(40; +\infty)$.
273. Розв'яжіть нерівність:
1) $14 + x \lt 19$;
2) $7 - x \ge 4$;
3) $0{,}3 + x \le 8{,}5$;
4) $2{,}7 - x \ge 0$;
5) $1 + 6x \gt 7$;
6) $3x + 1 \lt 0$;
7) $3 - 2x \ge 8$;
8) $6 - 15x \le 0$;
9) $0{,}4x - 16 \lt 0$.
Розв'язок:
1) $14 + x \lt 19$
$x \lt 19 - 14$
$x \lt 5$
2) $7 - x \ge 4$
$-x \ge 4 - 7$
$-x \ge -3$
$x \le 3$
3) $0{,}3 + x \le 8{,}5$
$x \le 8{,}5 - 0{,}3$
$x \le 8{,}2$
4) $2{,}7 - x \ge 0$
$-x \ge -2{,}7$
$x \le 2{,}7$
5) $1 + 6x \gt 7$
$6x \gt 6$
$x \gt 1$
6) $3x + 1 \lt 0$
$3x \lt -1$
$x \lt -\frac{1}{3}$
7) $3 - 2x \ge 8$
$-2x \ge 5$
$x \le -2{,}5$
8) $6 - 15x \le 0$
$-15x \le -6$
$x \ge 0{,}4$
9) $0{,}4x - 16 \lt 0$
$0{,}4x \lt 16$
$x \lt 40$
Відповідь: 1) $(-\infty; 5)$;
2) $(-\infty; 3]$;
3) $(-\infty; 8{,}2]$;
4) $(-\infty; 2{,}7]$;
5) $(1; +\infty)$;
6) $\left(-\infty; -\frac{1}{3}\right)$;
7) $(-\infty; -2{,}5]$;
8) $[0{,}4; +\infty)$;
9) $(-\infty; 40)$.
274. За яких значень $y$:
1) вираз $2y + 11$ набуває додатних значень;
2) вираз $13 - 2y$ набуває від'ємних значень?
Розв'язок:
1) $2y + 11 \gt 0$
$2y \gt -11$
$y \gt -5{,}5$
2) $13 - 2y \lt 0$
$-2y \lt -13$
$y \gt 6{,}5$
Відповідь: 1) $(-5{,}5; +\infty)$;
2) $(6{,}5; +\infty)$.
275. Розв'яжіть нерівність:
1) $4 + x \gt 1 - 2x$;
2) $2 + 6x \lt 5 + 7x$;
3) $9x \le 4x + 12$;
4) $4(1 + x) \lt x - 2$;
5) $-(2x + 1) \ge 3(x + 2)$;
6) $4(1 - x) + 5(x + 8) \ge 0$.
Розв'язок:
1) $4 + x \gt 1 - 2x$
$x + 2x \gt 1 - 4$
$3x \gt -3$
$x \gt -1$
2) $2 + 6x \lt 5 + 7x$
$6x - 7x \lt 5 - 2$
$-x \lt 3$
$x \gt -3$
3) $9x \le 4x + 12$
$9x - 4x \le 12$
$5x \le 12$
$x \le 2{,}4$
4) $4(1 + x) \lt x - 2$
$4 + 4x \lt x - 2$
$4x - x \lt -2 - 4$
$3x \lt -6$
$x \lt -2$
5) $-(2x + 1) \ge 3(x + 2)$
$-2x - 1 \ge 3x + 6$
$-2x - 3x \ge 6 + 1$
$-5x \ge 7$
$x \le -1{,}4$
6) $4(1 - x) + 5(x + 8) \ge 0$
$4 - 4x + 5x + 40 \ge 0$
$x + 44 \ge 0$
$x \ge -44$
Відповідь: 1) $(-1; +\infty)$;
2) $(-3; +\infty)$;
3) $(-\infty; 2{,}4]$;
4) $(-\infty; -2)$;
5) $(-\infty; -1{,}4]$;
6) $[-44; +\infty)$.
276. Розв'яжіть нерівність:
1) $6 + x \gt 3 - 2x$;
2) $4 + 12x \lt 7 + 13x$;
3) $6x \le 8x + 1$;
4) $-(5 - x) \le 2(4 + x)$;
5) $3(1 - x) + 2(2 - 2x) \lt 0$;
6) $-(2 - 3x) + 4(6 + x) \lt 1$.
Розв'язок:
1) $6 + x \gt 3 - 2x$
$x + 2x \gt 3 - 6$
$3x \gt -3$
$x \gt -1$
2) $4 + 12x \lt 7 + 13x$
$12x - 13x \lt 7 - 4$
$-x \lt 3$
$x \gt -3$
3) $6x \le 8x + 1$
$6x - 8x \le 1$
$-2x \le 1$
$x \ge -0{,}5$
4) $-(5 - x) \le 2(4 + x)$
$-5 + x \le 8 + 2x$
$x - 2x \le 8 + 5$
$-x \le 13$
$x \ge -13$
5) $3(1 - x) + 2(2 - 2x) \lt 0$
$3 - 3x + 4 - 4x \lt 0$
$-7x \lt -7$
$x \gt 1$
6) $-(2 - 3x) + 4(6 + x) \lt 1$
$-2 + 3x + 24 + 4x \lt 1$
$7x \lt 1 - 22$
$7x \lt -21$
$x \lt -3$
Відповідь: 1) $(-1; +\infty)$;
2) $(-3; +\infty)$;
3) $[-0{,}5; +\infty)$;
4) $[-13; +\infty)$;
5) $(1; +\infty)$;
6) $(-\infty; -3)$.
277. За яких значень $x$ має зміст вираз:
1) $\sqrt{2x - 7}$;
2) $\sqrt{5 - 14x}$;
3) $\frac{2x}{\sqrt{4x + 16}}$;
4) $\frac{12}{\sqrt{-8 - 2x}}$?
Розв'язок:
Вираз під коренем має бути невід'ємним, а якщо корінь стоїть у знаменнику, — додатним.
1) $2x - 7 \ge 0$
$2x \ge 7$
$x \ge 3{,}5$
2) $5 - 14x \ge 0$
$-14x \ge -5$
$x \le \frac{5}{14}$
3) $4x + 16 \gt 0$
$4x \gt -16$
$x \gt -4$
4) $-8 - 2x \gt 0$
$-2x \gt 8$
$x \lt -4$
Відповідь: 1) $[3{,}5; +\infty)$;
2) $\left(-\infty; \frac{5}{14}\right]$;
3) $(-4; +\infty)$;
4) $(-\infty; -4)$.
278. За яких значень $x$ має зміст вираз:
1) $\sqrt{3x + 30}$;
2) $\sqrt{7 - 12x}$;
3) $\frac{9}{\sqrt{10 - 5x}}$;
4) $\frac{2x}{\sqrt{-4x - 8}}$?
Розв'язок:
Вираз під коренем має бути невід'ємним, а якщо корінь стоїть у знаменнику, — додатним.
1) $3x + 30 \ge 0$
$3x \ge -30$
$x \ge -10$
2) $7 - 12x \ge 0$
$-12x \ge -7$
$x \le \frac{7}{12}$
3) $10 - 5x \gt 0$
$-5x \gt -10$
$x \lt 2$
4) $-4x - 8 \gt 0$
$-4x \gt 8$
$x \lt -2$
Відповідь: 1) $[-10; +\infty)$;
2) $\left(-\infty; \frac{7}{12}\right]$;
3) $(-\infty; 2)$;
4) $(-\infty; -2)$.
279. За яких значень $a$ нерівність $ax \lt 8$ має таку саму множину розв'язків, як:
1) $x \lt \frac{8}{a}$;
2) $x \gt \frac{8}{a}$?
Розв'язок:
Вираз $\frac{8}{a}$ має зміст лише за $a \ne 0$. Поділимо обидві частини нерівності $ax \lt 8$ на $a$.
1) Знак нерівності не змінюється, якщо ділимо на додатне число: за $a \gt 0$ маємо $x \lt \frac{8}{a}$.
2) Знак нерівності змінюється на протилежний, якщо ділимо на від'ємне число: за $a \lt 0$ маємо $x \gt \frac{8}{a}$.
Відповідь: 1) $a \gt 0$;
2) $a \lt 0$.
280. Складіть деяку нерівність вигляду $ax \gt b$, розв'язком якої є множина:
1) $(2; +\infty)$;
2) $(-\infty; -3)$.
Розв'язок:
1) Множина $(2; +\infty)$ — це розв'язки нерівності $x \gt 2$. Помножимо обидві частини на додатне число, наприклад на $3$: $3x \gt 6$.
2) Множина $(-\infty; -3)$ — це розв'язки нерівності $x \lt -3$. Помножимо обидві частини на від'ємне число, наприклад на $-2$, і змінимо знак нерівності: $-2x \gt 6$.
Відповідь: наприклад, 1) $3x \gt 6$;
2) $-2x \gt 6$.