Сторінка 35
315. Розв'яжіть систему нерівностей:
1) $\begin{cases} 3x \gt -3, \\ -5x \lt 10; \end{cases}$
2) $\begin{cases} 0{,}5x \lt 2, \\ -3x \ge -9; \end{cases}$
3) $\begin{cases} 1{,}5x \gt -3, \\ -6x \gt -12; \end{cases}$
4) $\begin{cases} \frac{1}{7}x \lt 2, \\ -5x \le -75. \end{cases}$
Розв'язок:
1) $\begin{cases} x \gt -1, \\ x \gt -2. \end{cases}$
Перетин проміжків $(-1; +\infty)$ і $(-2; +\infty)$ — проміжок $(-1; +\infty)$.
2) $\begin{cases} x \lt 4, \\ x \le 3. \end{cases}$
Перетин — проміжок $(-\infty; 3]$.
3) $\begin{cases} x \gt -2, \\ x \lt 2. \end{cases}$
Перетин — проміжок $(-2; 2)$.
4) $\begin{cases} x \lt 14, \\ x \ge 15. \end{cases}$
Проміжки $(-\infty; 14)$ і $[15; +\infty)$ не мають спільних точок — система не має розв'язків.
Відповідь: 1) $(-1; +\infty)$;
2) $(-\infty; 3]$;
3) $(-2; 2)$;
4) система не має розв'язків.
316. Розв'яжіть систему нерівностей:
1) $\begin{cases} x \gt 1{,}6, \\ x \lt 4; \end{cases}$
2) $\begin{cases} x \gt 3, \\ x \ge 2{,}5; \end{cases}$
3) $\begin{cases} x \lt -8, \\ x \le -3; \end{cases}$
4) $\begin{cases} x \gt 11, \\ x \lt 8; \end{cases}$
5) $\begin{cases} 0{,}6x \gt 3, \\ -10x \gt -70; \end{cases}$
6) $\begin{cases} 0{,}2x \gt 2, \\ -3x \lt -12. \end{cases}$
Розв'язок:
1) Перетин проміжків $(1{,}6; +\infty)$ і $(-\infty; 4)$ — проміжок $(1{,}6; 4)$.
2) Перетин проміжків $(3; +\infty)$ і $[2{,}5; +\infty)$ — проміжок $(3; +\infty)$.
3) Перетин проміжків $(-\infty; -8)$ і $(-\infty; -3]$ — проміжок $(-\infty; -8)$.
4) Проміжки $(11; +\infty)$ і $(-\infty; 8)$ не мають спільних точок — система не має розв'язків.
5) $\begin{cases} x \gt 5, \\ x \lt 7. \end{cases}$
Перетин — проміжок $(5; 7)$.
6) $\begin{cases} x \gt 10, \\ x \gt 4. \end{cases}$
Перетин — проміжок $(10; +\infty)$.
Відповідь: 1) $(1{,}6; 4)$;
2) $(3; +\infty)$;
3) $(-\infty; -8)$;
4) система не має розв'язків;
5) $(5; 7)$;
6) $(10; +\infty)$.
317. Розв'яжіть систему і вкажіть три числа, які є її розв'язками:
1) $\begin{cases} 3x \lt x + 4, \\ 0{,}5x \lt 1{,}4 - 0{,}2x; \end{cases}$
2) $\begin{cases} 6{,}5x - 2 \lt 1{,}5x - 1, \\ 2 - 3x \lt x + 6. \end{cases}$
Розв'язок:
1) $\begin{cases} 3x - x \lt 4, \\ 0{,}5x + 0{,}2x \lt 1{,}4; \end{cases}$
$\begin{cases} 2x \lt 4, \\ 0{,}7x \lt 1{,}4; \end{cases}$
$\begin{cases} x \lt 2, \\ x \lt 2. \end{cases}$
Розв'язки системи — проміжок $(-\infty; 2)$. Наприклад, $-5$; $0$; $1$.
2) $\begin{cases} 6{,}5x - 1{,}5x \lt -1 + 2, \\ -3x - x \lt 6 - 2; \end{cases}$
$\begin{cases} 5x \lt 1, \\ -4x \lt 4; \end{cases}$
$\begin{cases} x \lt 0{,}2, \\ x \gt -1. \end{cases}$
Розв'язки системи — проміжок $(-1; 0{,}2)$. Наприклад, $-0{,}5$; $0$; $0{,}1$.
Відповідь: 1) $(-\infty; 2)$; наприклад, $-5$; $0$; $1$;
2) $(-1; 0{,}2)$; наприклад, $-0{,}5$; $0$; $0{,}1$.
318. Розв'яжіть систему нерівностей і вкажіть два цілих числа, які її задовольняють:
1) $\begin{cases} 3x - 2 \lt 1{,}5x - 1, \\ 4 - 2x \gt x - 2; \end{cases}$
2) $\begin{cases} 3(x + 2) \gt x + 7, \\ 4x + 2 \lt 2(x + 3). \end{cases}$
Розв'язок:
1) $\begin{cases} 3x - 1{,}5x \lt -1 + 2, \\ -2x - x \gt -2 - 4; \end{cases}$
$\begin{cases} 1{,}5x \lt 1, \\ -3x \gt -6; \end{cases}$
$\begin{cases} x \lt \frac{2}{3}, \\ x \lt 2. \end{cases}$
Розв'язки системи — проміжок $\left(-\infty; \frac{2}{3}\right)$. Цілі числа з нього, наприклад, $0$ і $-1$.
2) $\begin{cases} 3x + 6 \gt x + 7, \\ 4x + 2 \lt 2x + 6; \end{cases}$
$\begin{cases} 2x \gt 1, \\ 2x \lt 4; \end{cases}$
$\begin{cases} x \gt 0{,}5, \\ x \lt 2. \end{cases}$
Розв'язки системи — проміжок $(0{,}5; 2)$. У ньому лише одне ціле число — $1$, тож двох цілих розв'язків ця система не має.
Відповідь: 1) $\left(-\infty; \frac{2}{3}\right)$; наприклад, $0$ і $-1$;
2) $(0{,}5; 2)$; ціле число лише одне — $1$.
319. Знайдіть цілі розв'язки системи нерівностей:
1) $\begin{cases} 9x + 2 \gt 3 + x, \\ 3x - 4 \lt x; \end{cases}$
2) $\begin{cases} 1{,}5x + 0{,}5 \gt 2, \\ 0{,}7x - 0{,}2 \lt 4. \end{cases}$
Розв'язок:
1) $\begin{cases} 9x - x \gt 3 - 2, \\ 3x - x \lt 4; \end{cases}$
$\begin{cases} 8x \gt 1, \\ 2x \lt 4; \end{cases}$
$\begin{cases} x \gt \frac{1}{8}, \\ x \lt 2. \end{cases}$
Розв'язки — проміжок $\left(\frac{1}{8}; 2\right)$, ціле число в ньому — $1$.
2) $\begin{cases} 1{,}5x \gt 1{,}5, \\ 0{,}7x \lt 4{,}2; \end{cases}$
$\begin{cases} x \gt 1, \\ x \lt 6. \end{cases}$
Розв'язки — проміжок $(1; 6)$, цілі числа в ньому: $2$; $3$; $4$; $5$.
Відповідь: 1) $1$;
2) $2$; $3$; $4$; $5$.
320. Розв'яжіть систему нерівностей:
1) $\begin{cases} \frac{x}{2} \gt 5, \\ \frac{3x}{7} \gt 0; \end{cases}$
2) $\begin{cases} \frac{2x + 6}{7} \gt 0, \\ \frac{x}{8} \lt 1; \end{cases}$
3) $\begin{cases} x - \frac{x}{4} \ge 2, \\ \frac{x}{2} + \frac{x}{3} \lt 10. \end{cases}$
Розв'язок:
1) $\begin{cases} x \gt 10, \\ 3x \gt 0; \end{cases}$
$\begin{cases} x \gt 10, \\ x \gt 0. \end{cases}$
Перетин — проміжок $(10; +\infty)$.
2) $\begin{cases} 2x + 6 \gt 0, \\ x \lt 8; \end{cases}$
$\begin{cases} x \gt -3, \\ x \lt 8. \end{cases}$
Перетин — проміжок $(-3; 8)$.
3) Першу нерівність помножимо на $4$, другу — на $6$:
$\begin{cases} 4x - x \ge 8, \\ 3x + 2x \lt 60; \end{cases}$
$\begin{cases} 3x \ge 8, \\ 5x \lt 60; \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge 2\frac{2}{3}, \\ x \lt 12. \end{cases}$
Перетин — проміжок $\left[2\frac{2}{3}; 12\right)$.
Відповідь: 1) $(10; +\infty)$;
2) $(-3; 8)$;
3) $\left[2\frac{2}{3}; 12\right)$.
321. Розв'яжіть систему нерівностей:
1) $\begin{cases} \frac{x}{2} \le 8, \\ \frac{x}{6} \gt 1; \end{cases}$
2) $\begin{cases} \frac{5x - 1}{4} \lt 1, \\ \frac{x}{5} \ge 0; \end{cases}$
3) $\begin{cases} 1 - \frac{x}{4} \ge x, \\ x - \frac{x}{5} \gt 16. \end{cases}$
Розв'язок:
1) $\begin{cases} x \le 16, \\ x \gt 6. \end{cases}$
Перетин — проміжок $(6; 16]$.
2) $\begin{cases} 5x - 1 \lt 4, \\ x \ge 0; \end{cases}$
$\begin{cases} x \lt 1, \\ x \ge 0. \end{cases}$
Перетин — проміжок $[0; 1)$.
3) Першу нерівність помножимо на $4$, другу — на $5$:
$\begin{cases} 4 - x \ge 4x, \\ 5x - x \gt 80; \end{cases}$
$\begin{cases} -5x \ge -4, \\ 4x \gt 80; \end{cases}$
$\begin{cases} x \le 0{,}8, \\ x \gt 20. \end{cases}$
Проміжки $(-\infty; 0{,}8]$ і $(20; +\infty)$ не мають спільних точок — система не має розв'язків.
Відповідь: 1) $(6; 16]$;
2) $[0; 1)$;
3) система не має розв'язків.
322. Розв'яжіть подвійну нерівність:
1) $1{,}5 \lt 3x \lt 3$;
2) $-2 \le 5x \le 3$;
3) $-8 \le -2x \lt 0$;
4) $0 \le -3x \le 9$;
5) $4 \lt x + 19 \lt 5$;
6) $-5 \le x - 6 \le 8$.
Розв'язок:
1) $1{,}5 \lt 3x \lt 3 \quad | : 3$
$0{,}5 \lt x \lt 1$
2) $-2 \le 5x \le 3 \quad | : 5$
$-0{,}4 \le x \le 0{,}6$
3) $-8 \le -2x \lt 0 \quad | : (-2)$
$4 \ge x \gt 0$, тобто $0 \lt x \le 4$
4) $0 \le -3x \le 9 \quad | : (-3)$
$0 \ge x \ge -3$, тобто $-3 \le x \le 0$
5) $4 \lt x + 19 \lt 5 \quad | - 19$
$-15 \lt x \lt -14$
6) $-5 \le x - 6 \le 8 \quad | + 6$
$1 \le x \le 14$
У «Відповідях» посібника до 2) — «$-\frac{2}{5} \le x \lt \frac{3}{5}$», ймовірно, друкарська помилка: за умовою $5x \le 3$, тож $x = 0{,}6$ — теж розв'язок.
Відповідь: 1) $(0{,}5; 1)$;
2) $[-0{,}4; 0{,}6]$;
3) $(0; 4]$;
4) $[-3; 0]$;
5) $(-15; -14)$;
6) $[1; 14]$.
323. Розв'яжіть подвійну нерівність:
1) $-12 \le 2x + 4 \le -6$;
2) $-1 \le 4 - 2x \le 5$;
3) $-8 \le \frac{x}{3} \le 4$;
4) $-2 \le -\frac{x}{5} \le 0$.
Розв'язок:
1) $-12 \le 2x + 4 \le -6 \quad | - 4$
$-16 \le 2x \le -10 \quad | : 2$
$-8 \le x \le -5$
2) $-1 \le 4 - 2x \le 5 \quad | - 4$
$-5 \le -2x \le 1 \quad | : (-2)$
$2{,}5 \ge x \ge -0{,}5$, тобто $-0{,}5 \le x \le 2{,}5$
3) $-8 \le \frac{x}{3} \le 4 \quad | \cdot 3$
$-24 \le x \le 12$
4) $-2 \le -\frac{x}{5} \le 0 \quad | \cdot (-5)$
$10 \ge x \ge 0$, тобто $0 \le x \le 10$
У «Відповідях» посібника до 2) — «$-\frac{1}{2} \le x \lt \frac{5}{2}$», ймовірно, друкарська помилка: за $x = 2{,}5$ маємо $4 - 2x = -1$, і нерівність $-1 \le -1$ правильна.
Відповідь: 1) $[-8; -5]$;
2) $[-0{,}5; 2{,}5]$;
3) $[-24; 12]$;
4) $[0; 10]$.