Сторінка 40
364. Розв'яжіть нерівність:
1) $|2x| \gt x + 3$;
2) $|x - 2| + x \gt 4$;
3) $|x - 3| + |x + 1| \le 8$;
4) $|x - 2| + |x + 1| \gt 3$;
5) $|x - 3| - |x + 1| \gt 1$;
6) $|2x + 4| - |x - 2| \lt 2$.
Розв'язок:
Нулі виразів під модулями ділять числову пряму на проміжки; на кожному розкриваємо модулі й беремо розв'язки, що належать цьому проміжку.
1) $x \ge 0$: $2x \gt x + 3$; $x \gt 3$.
$x \lt 0$: $-2x \gt x + 3$; $-3x \gt 3$; $x \lt -1$.
2) $x \ge 2$: $x - 2 + x \gt 4$; $2x \gt 6$; $x \gt 3$.
$x \lt 2$: $2 - x + x \gt 4$; $2 \gt 4$ — неправильно.
3) Нулі: $-1$ і $3$.
$x \lt -1$: $3 - x - x - 1 \le 8$; $-2x \le 6$; $x \ge -3$; маємо $-3 \le x \lt -1$.
$-1 \le x \lt 3$: $3 - x + x + 1 \le 8$; $4 \le 8$ — правильно, $-1 \le x \lt 3$.
$x \ge 3$: $x - 3 + x + 1 \le 8$; $2x \le 10$; $x \le 5$; маємо $3 \le x \le 5$.
Отже, $-3 \le x \le 5$.
4) Нулі: $-1$ і $2$.
$x \lt -1$: $2 - x - x - 1 \gt 3$; $-2x \gt 2$; $x \lt -1$.
$-1 \le x \lt 2$: $2 - x + x + 1 \gt 3$; $3 \gt 3$ — неправильно.
$x \ge 2$: $x - 2 + x + 1 \gt 3$; $2x \gt 4$; $x \gt 2$.
5) Нулі: $-1$ і $3$.
$x \lt -1$: $3 - x + x + 1 \gt 1$; $4 \gt 1$ — правильно, $x \lt -1$.
$-1 \le x \lt 3$: $3 - x - x - 1 \gt 1$; $-2x \gt -1$; $x \lt \frac{1}{2}$; маємо $-1 \le x \lt \frac{1}{2}$.
$x \ge 3$: $x - 3 - x - 1 \gt 1$; $-4 \gt 1$ — неправильно.
Отже, $x \lt \frac{1}{2}$.
6) Нулі: $-2$ і $2$.
$x \lt -2$: $-2x - 4 - (2 - x) \lt 2$; $-x - 6 \lt 2$; $x \gt -8$; маємо $-8 \lt x \lt -2$.
$-2 \le x \lt 2$: $2x + 4 - (2 - x) \lt 2$; $3x + 2 \lt 2$; $x \lt 0$; маємо $-2 \le x \lt 0$.
$x \ge 2$: $2x + 4 - (x - 2) \lt 2$; $x + 6 \lt 2$; $x \lt -4$ — на цьому проміжку розв'язків немає.
Отже, $-8 \lt x \lt 0$.
Відповідь: 1) $x \lt -1$ або $x \gt 3$;
2) $x \gt 3$;
3) $-3 \le x \le 5$;
4) $x \lt -1$ або $x \gt 2$;
5) $x \lt \frac{1}{2}$;
6) $-8 \lt x \lt 0$.
365. Розв'яжіть нерівність:
1) $|x| \gt 2x - 3$;
2) $|x - 3| + x \gt 5$;
3) $|x - 4| + |x + 1| \le 6$;
4) $|x - 3| - |x + 1| \gt 2$.
Розв'язок:
1) $x \ge 0$: $x \gt 2x - 3$; $x \lt 3$; маємо $0 \le x \lt 3$.
$x \lt 0$: $-x \gt 2x - 3$; $-3x \gt -3$; $x \lt 1$; маємо $x \lt 0$.
Отже, $x \lt 3$.
2) $x \ge 3$: $x - 3 + x \gt 5$; $2x \gt 8$; $x \gt 4$.
$x \lt 3$: $3 - x + x \gt 5$; $3 \gt 5$ — неправильно.
3) Нулі: $-1$ і $4$.
$x \lt -1$: $4 - x - x - 1 \le 6$; $-2x \le 3$; $x \ge -1{,}5$; маємо $-1{,}5 \le x \lt -1$.
$-1 \le x \lt 4$: $4 - x + x + 1 \le 6$; $5 \le 6$ — правильно, $-1 \le x \lt 4$.
$x \ge 4$: $x - 4 + x + 1 \le 6$; $2x \le 9$; $x \le 4{,}5$; маємо $4 \le x \le 4{,}5$.
Отже, $-1{,}5 \le x \le 4{,}5$.
4) Нулі: $-1$ і $3$.
$x \lt -1$: $3 - x + x + 1 \gt 2$; $4 \gt 2$ — правильно, $x \lt -1$.
$-1 \le x \lt 3$: $3 - x - x - 1 \gt 2$; $-2x \gt 0$; $x \lt 0$; маємо $-1 \le x \lt 0$.
$x \ge 3$: $x - 3 - x - 1 \gt 2$; $-4 \gt 2$ — неправильно.
Отже, $x \lt 0$.
Відповідь: 1) $x \lt 3$;
2) $x \gt 4$;
3) $-1{,}5 \le x \le 4{,}5$;
4) $x \lt 0$.
366. Розв'яжіть подвійну нерівність:
1) $2 \lt |x| \lt 4$;
2) $0 \lt |x - 1| \le 5$.
Розв'язок:
1) $|x| \lt 4$: $-4 \lt x \lt 4$;
$|x| \gt 2$: $x \lt -2$ або $x \gt 2$.
Спільні розв'язки: $-4 \lt x \lt -2$ або $2 \lt x \lt 4$.
2) $|x - 1| \le 5$: $-5 \le x - 1 \le 5$; $-4 \le x \le 6$;
$|x - 1| \gt 0$: $x \ne 1$.
Спільні розв'язки: $-4 \le x \lt 1$ або $1 \lt x \le 6$.
Відповідь: 1) $-4 \lt x \lt -2$ або $2 \lt x \lt 4$;
2) $-4 \le x \lt 1$ або $1 \lt x \le 6$.
367. Розв'яжіть систему нерівностей:
1) $\begin{cases} |x - 2| \lt 10, \\ |x| \gt 9; \end{cases}$
2) $\begin{cases} 2 \lt |x| \lt 5, \\ |x + 1| \ge 3{,}5. \end{cases}$
Розв'язок:
1) $|x - 2| \lt 10$: $-10 \lt x - 2 \lt 10$; $-8 \lt x \lt 12$;
$|x| \gt 9$: $x \lt -9$ або $x \gt 9$.
Проміжок $(-\infty; -9)$ не має спільних точок з $(-8; 12)$, а спільна частина $(9; +\infty)$ і $(-8; 12)$ — проміжок $(9; 12)$.
2) $2 \lt |x| \lt 5$: $-5 \lt x \lt -2$ або $2 \lt x \lt 5$;
$|x + 1| \ge 3{,}5$: $x + 1 \le -3{,}5$ або $x + 1 \ge 3{,}5$, тобто $x \le -4{,}5$ або $x \ge 2{,}5$.
Спільні розв'язки: $-5 \lt x \le -4{,}5$ або $2{,}5 \le x \lt 5$.
Відповідь: 1) $9 \lt x \lt 12$;
2) $-5 \lt x \le -4{,}5$ або $2{,}5 \le x \lt 5$.