Сторінка 39
(додатковий матеріал)
Нагадаємо: якщо $a \gt 0$, то нерівність $|f| \lt a$ рівносильна подвійній нерівності $-a \lt f \lt a$, а нерівність $|f| \gt a$ — сукупності $f \lt -a$ або $f \gt a$ (так само з $\le$ і $\ge$).
355. Розв'яжіть нерівність:
1) $|x| \lt 3$;
2) $|2x| \le 5$;
3) $|x - 2| \lt 4$;
4) $|2x + 7| \le 5$;
5) $|4 - 2x| \le 9$;
6) $\left|\frac{1 - x}{3}\right| \lt 8$.
Розв'язок:
1) $-3 \lt x \lt 3$.
2) $-5 \le 2x \le 5 \quad | : 2$
$-2{,}5 \le x \le 2{,}5$
3) $-4 \lt x - 2 \lt 4 \quad | + 2$
$-2 \lt x \lt 6$
4) $-5 \le 2x + 7 \le 5 \quad | - 7$
$-12 \le 2x \le -2 \quad | : 2$
$-6 \le x \le -1$
5) $-9 \le 4 - 2x \le 9 \quad | - 4$
$-13 \le -2x \le 5 \quad | : (-2)$
$6{,}5 \ge x \ge -2{,}5$, тобто $-2{,}5 \le x \le 6{,}5$
6) $-8 \lt \frac{1 - x}{3} \lt 8 \quad | \cdot 3$
$-24 \lt 1 - x \lt 24 \quad | - 1$
$-25 \lt -x \lt 23 \quad | \cdot (-1)$
$25 \gt x \gt -23$, тобто $-23 \lt x \lt 25$
Відповідь: 1) $-3 \lt x \lt 3$;
2) $-2{,}5 \le x \le 2{,}5$;
3) $-2 \lt x \lt 6$;
4) $-6 \le x \le -1$;
5) $-2{,}5 \le x \le 6{,}5$;
6) $-23 \lt x \lt 25$.
356. Розв'яжіть нерівність:
1) $|x| \gt 4$;
2) $|7x| \ge 14$;
3) $|x + 3| \gt 15$;
4) $|3x - 7| \gt 2$;
5) $|8 - 3x| \ge 3$;
6) $\left|\frac{7x - 2}{5}\right| \ge 3$.
Розв'язок:
1) $x \lt -4$ або $x \gt 4$.
2) $7x \le -14$ або $7x \ge 14$;
$x \le -2$ або $x \ge 2$.
3) $x + 3 \lt -15$ або $x + 3 \gt 15$;
$x \lt -18$ або $x \gt 12$.
4) $3x - 7 \lt -2$ або $3x - 7 \gt 2$;
$3x \lt 5$ або $3x \gt 9$;
$x \lt 1\frac{2}{3}$ або $x \gt 3$.
5) $8 - 3x \le -3$ або $8 - 3x \ge 3$;
$-3x \le -11$ або $-3x \ge -5$;
$x \ge 3\frac{2}{3}$ або $x \le 1\frac{2}{3}$.
6) $\frac{7x - 2}{5} \le -3$ або $\frac{7x - 2}{5} \ge 3$;
$7x - 2 \le -15$ або $7x - 2 \ge 15$;
$7x \le -13$ або $7x \ge 17$;
$x \le -1\frac{6}{7}$ або $x \ge 2\frac{3}{7}$.
Відповідь: 1) $x \lt -4$ або $x \gt 4$;
2) $x \le -2$ або $x \ge 2$;
3) $x \lt -18$ або $x \gt 12$;
4) $x \lt 1\frac{2}{3}$ або $x \gt 3$;
5) $x \le 1\frac{2}{3}$ або $x \ge 3\frac{2}{3}$;
6) $x \le -1\frac{6}{7}$ або $x \ge 2\frac{3}{7}$.
357. Розв'яжіть нерівність:
1) $|x| \le 5$;
2) $|4x - 2| \lt 6$;
3) $|2 - x| \le 7$;
4) $|x| \ge 2$;
5) $|2x + 9| \gt 1$;
6) $|4 - 2x| \gt 10$.
Розв'язок:
1) $-5 \le x \le 5$.
2) $-6 \lt 4x - 2 \lt 6 \quad | + 2$
$-4 \lt 4x \lt 8 \quad | : 4$
$-1 \lt x \lt 2$
3) $-7 \le 2 - x \le 7 \quad | - 2$
$-9 \le -x \le 5 \quad | \cdot (-1)$
$9 \ge x \ge -5$, тобто $-5 \le x \le 9$
4) $x \le -2$ або $x \ge 2$.
5) $2x + 9 \lt -1$ або $2x + 9 \gt 1$;
$2x \lt -10$ або $2x \gt -8$;
$x \lt -5$ або $x \gt -4$.
6) $4 - 2x \lt -10$ або $4 - 2x \gt 10$;
$-2x \lt -14$ або $-2x \gt 6$;
$x \gt 7$ або $x \lt -3$.
Відповідь: 1) $-5 \le x \le 5$;
2) $-1 \lt x \lt 2$;
3) $-5 \le x \le 9$;
4) $x \le -2$ або $x \ge 2$;
5) $x \lt -5$ або $x \gt -4$;
6) $x \lt -3$ або $x \gt 7$.
358. Розв'яжіть нерівність, використовуючи властивості модуля:
1) $|x + 3| \gt -2$;
2) $|2 - 3x| \le -1$;
3) $|4 - 2x| \ge 0$;
4) $|x - 5| \gt 0$;
5) $|7 - x| \le 0$;
6) $|9 + x| \lt 0$.
Розв'язок:
Модуль будь-якого числа — невід'ємний, і $|a| = 0$ лише за $a = 0$.
1) $|x + 3| \ge 0 \gt -2$ за будь-якого $x$ — $x$ — будь-яке число.
2) Модуль не може бути від'ємним — нерівність не має розв'язків.
3) $|4 - 2x| \ge 0$ за будь-якого $x$ — $x$ — будь-яке число.
4) $|x - 5| \gt 0$, якщо $x - 5 \ne 0$, тобто $x \ne 5$.
5) $|7 - x| \le 0$ лише тоді, коли $|7 - x| = 0$: $7 - x = 0$, $x = 7$.
6) Модуль не може бути від'ємним — нерівність не має розв'язків.
Відповідь: 1) $x$ — будь-яке число;
2) нерівність не має розв'язків;
3) $x$ — будь-яке число;
4) $x \ne 5$;
5) $x = 7$;
6) нерівність не має розв'язків.
359. За яких значень $x$ правильною є рівність:
1) $|x + 3| = x + 3$;
2) $|x - 5| = 5 - x$?
Розв'язок:
1) $|a| = a$, якщо $a \ge 0$:
$x + 3 \ge 0$;
$x \ge -3$.
2) $5 - x = -(x - 5)$, а $|a| = -a$, якщо $a \le 0$:
$x - 5 \le 0$;
$x \le 5$.
Відповідь: 1) $x \ge -3$;
2) $x \le 5$.
360. Розв'яжіть рівняння:
1) $|x + 2| = |x - 3|$;
2) $|x| = |2 - x|$.
Розв'язок:
$|a| = |b|$, якщо $a = b$ або $a = -b$.
1) $x + 2 = x - 3$ — розв'язків немає ($2 \ne -3$);
$x + 2 = -(x - 3)$;
$2x = 1$;
$x = 0{,}5$.
2) $x = 2 - x$;
$2x = 2$;
$x = 1$;
$x = -(2 - x)$;
$x = x - 2$ — розв'язків немає.
Відповідь: 1) $x = 0{,}5$;
2) $x = 1$.
361. Розв'яжіть рівняння:
1) $4|x| - 2x = 3$;
2) $|2x - 1| + 3x = 9$;
3) $|x| + 4x = -3$;
4) $|2x - 3| + 2x = 2{,}5$.
Розв'язок:
1) Якщо $x \ge 0$: $4x - 2x = 3$; $x = 1{,}5$ — підходить.
Якщо $x \lt 0$: $-4x - 2x = 3$; $x = -0{,}5$ — підходить.
2) Якщо $x \ge 0{,}5$: $2x - 1 + 3x = 9$; $5x = 10$; $x = 2$ — підходить.
Якщо $x \lt 0{,}5$: $1 - 2x + 3x = 9$; $x = 8$ — не підходить ($8 \gt 0{,}5$).
3) Якщо $x \ge 0$: $x + 4x = -3$; $x = -0{,}6$ — не підходить.
Якщо $x \lt 0$: $-x + 4x = -3$; $x = -1$ — підходить.
4) Якщо $x \ge 1{,}5$: $2x - 3 + 2x = 2{,}5$; $4x = 5{,}5$; $x = 1{,}375$ — не підходить ($1{,}375 \lt 1{,}5$).
Якщо $x \lt 1{,}5$: $3 - 2x + 2x = 2{,}5$; $3 = 2{,}5$ — неправильно, розв'язків немає.
Відповідь: 1) $x_1 = 1{,}5$; $x_2 = -0{,}5$;
2) $x = 2$;
3) $x = -1$;
4) рівняння не має розв'язків.
362. Розв'яжіть рівняння:
1) $|x| = |7x - 1|$;
2) $|2x + 1| = 2x + 1$;
3) $|3x - 6| = x + 18$;
4) $|5x - 1| + x = 1$.
Розв'язок:
1) $x = 7x - 1$; $6x = 1$; $x = \frac{1}{6}$;
$x = -(7x - 1)$; $8x = 1$; $x = \frac{1}{8}$.
2) $|a| = a$, якщо $a \ge 0$:
$2x + 1 \ge 0$;
$x \ge -\frac{1}{2}$.
3) Модуль невід'ємний, тому $x + 18 \ge 0$, тобто $x \ge -18$.
$3x - 6 = x + 18$; $2x = 24$; $x = 12$;
$3x - 6 = -(x + 18)$; $4x = -12$; $x = -3$.
Обидва корені задовольняють умову $x \ge -18$.
4) $|5x - 1| = 1 - x$, де $1 - x \ge 0$, тобто $x \le 1$.
$5x - 1 = 1 - x$; $6x = 2$; $x = \frac{1}{3}$;
$5x - 1 = -(1 - x)$; $4x = 0$; $x = 0$.
Обидва корені задовольняють умову $x \le 1$.
Відповідь: 1) $x_1 = \frac{1}{8}$; $x_2 = \frac{1}{6}$;
2) $x \ge -\frac{1}{2}$;
3) $x_1 = -3$; $x_2 = 12$;
4) $x_1 = 0$; $x_2 = \frac{1}{3}$.
363. Розв'яжіть рівняння:
1) $|x + 1| + |x - 2| = 5$;
2) $|x - 3| + |x + 4| = 7$;
3) $|x + 3| + |x + 5| = 1$;
4) $|x - 2| - |2x - 3| + 2 = 0$;
5) $|x + 5| - |x - 1| = 2$;
6) $|x - 4| - |x - 1| = 6$.
Розв'язок:
Нулі виразів під модулями ділять числову пряму на проміжки; на кожному розкриваємо модулі.
1) Нулі: $-1$ і $2$.
$x \lt -1$: $-x - 1 - x + 2 = 5$; $-2x = 4$; $x = -2$ — підходить.
$-1 \le x \lt 2$: $x + 1 - x + 2 = 5$; $3 = 5$ — неправильно.
$x \ge 2$: $x + 1 + x - 2 = 5$; $2x = 6$; $x = 3$ — підходить.
2) Нулі: $-4$ і $3$.
$x \lt -4$: $3 - x - x - 4 = 7$; $-2x = 8$; $x = -4$ — не підходить ($-4 \not\lt -4$).
$-4 \le x \lt 3$: $3 - x + x + 4 = 7$; $7 = 7$ — правильно за всіх $x$ з цього проміжку.
$x \ge 3$: $x - 3 + x + 4 = 7$; $2x = 6$; $x = 3$ — підходить.
Отже, $-4 \le x \le 3$.
3) Нулі: $-5$ і $-3$.
$x \lt -5$: $-x - 3 - x - 5 = 1$; $-2x = 9$; $x = -4{,}5$ — не підходить.
$-5 \le x \lt -3$: $-x - 3 + x + 5 = 1$; $2 = 1$ — неправильно.
$x \ge -3$: $x + 3 + x + 5 = 1$; $2x = -7$; $x = -3{,}5$ — не підходить.
4) Нулі: $1{,}5$ і $2$.
$x \lt 1{,}5$: $2 - x - (3 - 2x) + 2 = 0$; $x + 1 = 0$; $x = -1$ — підходить.
$1{,}5 \le x \lt 2$: $2 - x - (2x - 3) + 2 = 0$; $7 - 3x = 0$; $x = 2\frac{1}{3}$ — не підходить.
$x \ge 2$: $x - 2 - (2x - 3) + 2 = 0$; $3 - x = 0$; $x = 3$ — підходить.
5) Нулі: $-5$ і $1$.
$x \lt -5$: $-x - 5 - (1 - x) = 2$; $-6 = 2$ — неправильно.
$-5 \le x \lt 1$: $x + 5 - (1 - x) = 2$; $2x + 4 = 2$; $x = -1$ — підходить.
$x \ge 1$: $x + 5 - (x - 1) = 2$; $6 = 2$ — неправильно.
6) Нулі: $1$ і $4$.
$x \lt 1$: $4 - x - (1 - x) = 6$; $3 = 6$ — неправильно.
$1 \le x \lt 4$: $4 - x - (x - 1) = 6$; $5 - 2x = 6$; $x = -0{,}5$ — не підходить.
$x \ge 4$: $x - 4 - (x - 1) = 6$; $-3 = 6$ — неправильно.
Відповідь: 1) $x_1 = -2$; $x_2 = 3$;
2) $-4 \le x \le 3$;
3) рівняння не має розв'язків;
4) $x_1 = -1$; $x_2 = 3$;
5) $x = -1$;
6) рівняння не має розв'язків.