Сторінка 44
389. Функцію задано формулою $y = \frac{x^2 - 2}{x}$, де $1 \le x \le 6$.
1) Складіть таблицю значень функції з кроком $0{,}5$.
2) Побудуйте графік функції, користуючись складеною таблицею.
Розв'язок:
1) Наприклад, $y(1{,}5) = \frac{2{,}25 - 2}{1{,}5} = \frac{0{,}25}{1{,}5} = \frac{1}{6} \approx 0{,}17$;
$y(3) = \frac{9 - 2}{3} = \frac{7}{3} \approx 2{,}33$.
Значення округлено до сотих.
| $x$ | $1$ | $1{,}5$ | $2$ | $2{,}5$ | $3$ | $3{,}5$ |
| $y$ | $-1$ | $0{,}17$ | $1$ | $1{,}7$ | $2{,}33$ | $2{,}93$ |
| $x$ | $4$ | $4{,}5$ | $5$ | $5{,}5$ | $6$ |
| $y$ | $3{,}5$ | $4{,}06$ | $4{,}6$ | $5{,}14$ | $5{,}67$ |
2) Позначаємо точки з таблиці й сполучаємо їх плавною лінією.
390. Чи існує значення $x$, за якого значення функції, заданої формулою $t(x) = \frac{5}{x + 0{,}1}$, дорівнює:
1) $5$;
2) $-10$;
3) $0$?
Якщо існує, то знайдіть це значення.
Розв'язок:
1) $\frac{5}{x + 0{,}1} = 5$
$x + 0{,}1 = 1$
$x = 0{,}9$
2) $\frac{5}{x + 0{,}1} = -10$
$x + 0{,}1 = -0{,}5$
$x = -0{,}6$
3) Чисельник дробу $\frac{5}{x + 0{,}1}$ дорівнює $5 \ne 0$, тому дріб не може дорівнювати нулю — такого $x$ не існує.
Відповідь: 1) так, $x = 0{,}9$;
2) так, $x = -0{,}6$;
3) ні.
391. Чи існує значення $x$, за якого значення функції $f(x) = \frac{12}{2x + 1}$ дорівнює:
1) $-6$;
2) $0$;
3) $12$?
Якщо існує, то знайдіть це значення.
Розв'язок:
1) $\frac{12}{2x + 1} = -6$
$2x + 1 = -2$
$2x = -3$
$x = -1{,}5$
2) Чисельник дробу дорівнює $12 \ne 0$, тому дріб не може дорівнювати нулю — такого $x$ не існує.
3) $\frac{12}{2x + 1} = 12$
$2x + 1 = 1$
$x = 0$
Відповідь: 1) так, $x = -1{,}5$;
2) ні;
3) так, $x = 0$.
392. Дано функцію:
$f(x) = -2x + 3$, якщо $x \le 0$;
$f(x) = \sqrt{x} + 2$, якщо $0 \lt x \le 4$;
$f(x) = x^2$, якщо $x \gt 4$.
Знайдіть $f(-1)$; $f(0)$; $f(1)$; $f(4)$; $f(5)$.
Розв'язок:
$-1 \le 0$, тому $f(-1) = -2 \cdot (-1) + 3 = 5$;
$0 \le 0$, тому $f(0) = -2 \cdot 0 + 3 = 3$;
$0 \lt 1 \le 4$, тому $f(1) = \sqrt{1} + 2 = 3$;
$0 \lt 4 \le 4$, тому $f(4) = \sqrt{4} + 2 = 4$;
$5 \gt 4$, тому $f(5) = 5^2 = 25$.
Відповідь: $f(-1) = 5$;
$f(0) = 3$;
$f(1) = 3$;
$f(4) = 4$;
$f(5) = 25$.
393. Дано функцію:
$g(x) = 5 - 2x$, якщо $x \lt 1$;
$g(x) = x^2 - 7$, якщо $1 \le x \lt 4$;
$g(x) = \sqrt{x}$, якщо $x \ge 4$.
Знайдіть $g(-3)$; $g(0)$; $g(1)$; $g(4)$; $g(100)$.
Розв'язок:
$-3 \lt 1$, тому $g(-3) = 5 - 2 \cdot (-3) = 11$;
$0 \lt 1$, тому $g(0) = 5 - 2 \cdot 0 = 5$;
$1 \le 1 \lt 4$, тому $g(1) = 1^2 - 7 = -6$;
$4 \ge 4$, тому $g(4) = \sqrt{4} = 2$;
$100 \ge 4$, тому $g(100) = \sqrt{100} = 10$.
Відповідь: $g(-3) = 11$;
$g(0) = 5$;
$g(1) = -6$;
$g(4) = 2$;
$g(100) = 10$.
394. Наведіть приклад функції, областю визначення якої є:
1) множина всіх чисел;
2) множина всіх чисел, крім $7$;
3) множина всіх чисел, крім $2$ і $5$;
4) множина всіх чисел, більших або рівних $8$.
Розв'язок:
1) $y = x + 1$ — вираз має зміст за будь-якого $x$.
2) $y = \frac{1}{x - 7}$ — знаменник дорівнює нулю лише за $x = 7$.
3) $y = \frac{1}{(x - 2)(x - 5)}$ — знаменник дорівнює нулю лише за $x = 2$ і $x = 5$.
4) $y = \sqrt{x - 8}$ — вираз має зміст, якщо $x - 8 \ge 0$, тобто $x \ge 8$.
Відповідь: наприклад, 1) $y = x + 1$;
2) $y = \frac{1}{x - 7}$;
3) $y = \frac{1}{(x - 2)(x - 5)}$;
4) $y = \sqrt{x - 8}$.
395. Рибалка пішов на озеро, а потім повернувся додому. Графік руху рибалки подано на малюнку 3 ($t$, год — час, що відраховується з моменту виходу з дому; $s$, км — відстань від рибалки до дому). Дайте відповіді на запитання:
1) Скільки часу рибалка йшов від дому до озера і з якою швидкістю?
2) Скільки годин перебував він на озері?
3) Скільки часу витратив рибалка на шлях від озера додому і з якою швидкістю він ішов?
4) На якій відстані від дому знаходився рибалка через $2$ год; $5$ год; $6$ год після виходу з дому?
Розв'язок:
1) За $1$ год рибалка пройшов $4$ км.
Швидкість: $4 : 1 = 4$ (км/год).
2) Від $t = 1$ до $t = 5$ відстань не змінювалася:
$5 - 1 = 4$ (год).
3) Від $t = 5$ до $t = 7$: $7 - 5 = 2$ (год).
Швидкість: $4 : 2 = 2$ (км/год).
4) За графіком: через $2$ год — $4$ км; через $5$ год — $4$ км; через $6$ год — $2$ км.
Відповідь: 1) $1$ год, $4$ км/год;
2) $4$ год;
3) $2$ год, $2$ км/год;
4) $4$ км; $4$ км; $2$ км.