Сторінка 120
ДР-1 [1М]. Метод координат на площині
Варіант 1
1. (1 бал.) У якій чверті міститься точка:
1) $C(-2; 3)$;
2) $M(4; 1)$?
Розв'язок:
1) $x = -2 \lt 0$, $y = 3 \gt 0$ — точка $C$ лежить у II чверті.
2) $x = 4 \gt 0$, $y = 1 \gt 0$ — точка $M$ лежить у I чверті.
Відповідь: 1) у II чверті;
2) у I чверті.
2. (1 бал.) Обчисліть:
1) $\operatorname{tg} 45^\circ - \cos 60^\circ$;
2) $\sqrt{2}\sin 45^\circ + \sqrt{3}\cos 30^\circ$.
Розв'язок:
1) $\operatorname{tg} 45^\circ - \cos 60^\circ = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
2) $\sqrt{2}\sin 45^\circ + \sqrt{3}\cos 30^\circ =$
$= \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =$
$= \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} = 2{,}5$.
Відповідь: 1) $\frac{1}{2}$;
2) $2{,}5$.
3. (1 бал.) Точка $K$ – середина відрізка $AB$, $A(-6; 2)$, $B(2; 8)$. Знайдіть:
1) довжину відрізка $AB$;
2) координати точки $K$.
Розв'язок:
1) $AB = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (8 - 2)^2} =$
$= \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
2) $x_K = \frac{-6 + 2}{2} = -2$; $y_K = \frac{2 + 8}{2} = 5$; $K(-2; 5)$.
Відповідь: 1) $10$;
2) $K(-2; 5)$.
4. (1 бал.) Знайдіть точки перетину прямої $3x - 5y - 15 = 0$ з осями координат.
Розв'язок:
З віссю ординат ($x = 0$): $-5y - 15 = 0$, $y = -3$; точка $(0; -3)$.
З віссю абсцис ($y = 0$): $3x - 15 = 0$, $x = 5$; точка $(5; 0)$.
Відповідь: $(0; -3)$ і $(5; 0)$.
5. (2 бали.) Побудуйте на координатній площині коло, задане рівнянням $(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 16$.
Розв'язок:
Центр кола — точка $(-3; 1)$, радіус $R = \sqrt{16} = 4$. Позначаємо центр і проводимо циркулем коло радіуса 4 одиничні відрізки.
6. (2 бали.) Складіть рівняння кола радіуса 5, яке проходить через точку $N(-2; 3)$, центр якого належить осі абсцис.
Розв'язок:
Центр кола лежить на осі абсцис, тож це точка $Q(a; 0)$.
$QN = 5$, тобто $QN^2 = 25$:
$(-2 - a)^2 + (3 - 0)^2 = 25$
$(a + 2)^2 = 16$
$a + 2 = 4$ або $a + 2 = -4$
$a = 2$ або $a = -6$.
Задача має два розв'язки: $Q_1(2; 0)$ і $Q_2(-6; 0)$.
Відповідь: $(x - 2)^2 + y^2 = 25$ або
$(x + 6)^2 + y^2 = 25$.
7. (2 бали.) Доведіть, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами $A(2; -5)$, $B(-1; -3)$, $C(4; 1)$, $D(7; -1)$ є паралелограмом.
Розв'язок:
Знайдемо середини діагоналей $AC$ і $BD$.
Середина $AC$:
$x = \frac{2 + 4}{2} = 3$; $y = \frac{-5 + 1}{2} = -2$; $(3; -2)$.
Середина $BD$:
$x = \frac{-1 + 7}{2} = 3$; $y = \frac{-3 + (-1)}{2} = -2$; $(3; -2)$.
Середини діагоналей збігаються — точка $O(3; -2)$, тобто діагоналі чотирикутника $ABCD$ точкою перетину діляться навпіл. Отже, $ABCD$ — паралелограм.
8. (2 бали.) Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку $D(3; -2)$ і паралельна прямій $4x - y + 2 = 0$.
Розв'язок:
$4x - y + 2 = 0$, тобто $y = 4x + 2$; її кутовий коефіцієнт $k = 4$.
Паралельні прямі мають рівні кутові коефіцієнти, тож шукана пряма: $y = 4x + l$.
Підставимо координати точки $D(3; -2)$:
$-2 = 4 \cdot 3 + l$, $l = -14$.
Відповідь: $y = 4x - 14$.