Сторінка 121
1. (1 бал.) У якій чверті міститься точка:
1) $D(-5; -1)$;
2) $N(2; -5)$?
Розв'язок:
1) $x = -5 \lt 0$, $y = -1 \lt 0$ — точка $D$ лежить у III чверті.
2) $x = 2 \gt 0$, $y = -5 \lt 0$ — точка $N$ лежить у IV чверті.
Відповідь: 1) у III чверті;
2) у IV чверті.
2. (1 бал.) Обчисліть:
1) $\sin 30^\circ + \operatorname{tg} 45^\circ$;
2) $\sqrt{3}\operatorname{tg} 60^\circ - \sqrt{2}\sin 45^\circ$.
Розв'язок:
1) $\sin 30^\circ + \operatorname{tg} 45^\circ = \frac{1}{2} + 1 = 1{,}5$.
2) $\sqrt{3}\operatorname{tg} 60^\circ - \sqrt{2}\sin 45^\circ =$
$= \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} =$
$= 3 - 1 = 2$.
Відповідь: 1) $1{,}5$;
2) $2$.
3. (1 бал.) Точка $K$ – середина відрізка $AB$, $A(-5; -3)$, $B(1; 5)$. Знайдіть:
1) довжину відрізка $AB$;
2) координати точки $K$.
Розв'язок:
1) $x_B - x_A = 1 - (-5) = 6$;
$y_B - y_A = 5 - (-3) = 8$.
$AB = \sqrt{6^2 + 8^2} =$
$= \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
2) $x_K = \frac{-5 + 1}{2} = -2$; $y_K = \frac{-3 + 5}{2} = 1$; $K(-2; 1)$.
Відповідь: 1) $10$;
2) $K(-2; 1)$.
4. (1 бал.) Знайдіть точки перетину прямої $2x - 3y - 18 = 0$ з осями координат.
Розв'язок:
З віссю ординат ($x = 0$): $-3y - 18 = 0$, $y = -6$; точка $(0; -6)$.
З віссю абсцис ($y = 0$): $2x - 18 = 0$, $x = 9$; точка $(9; 0)$.
Відповідь: $(0; -6)$ і $(9; 0)$.
5. (2 бали.) Побудуйте на координатній площині коло, задане рівнянням $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$.
Розв'язок:
Центр кола — точка $(2; -1)$, радіус $R = \sqrt{9} = 3$. Позначаємо центр і проводимо циркулем коло радіуса 3 одиничні відрізки.
6. (2 бали.) Складіть рівняння кола радіуса 5, яке проходить через точку $M(4; -1)$, центр якого належить осі ординат.
Розв'язок:
Центр кола лежить на осі ординат, тож це точка $Q(0; b)$.
$QM = 5$, тобто $QM^2 = 25$:
$(4 - 0)^2 + (-1 - b)^2 = 25$
$(b + 1)^2 = 9$
$b + 1 = 3$ або $b + 1 = -3$
$b = 2$ або $b = -4$.
Задача має два розв'язки: $Q_1(0; 2)$ і $Q_2(0; -4)$.
Відповідь: $x^2 + (y - 2)^2 = 25$ або
$x^2 + (y + 4)^2 = 25$.
7. (2 бали.) Доведіть, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами $A(3; -1)$, $B(-2; -4)$, $C(-1; 7)$, $D(4; 10)$ є паралелограмом.
Розв'язок:
Знайдемо середини діагоналей $AC$ і $BD$.
Середина $AC$:
$x = \frac{3 + (-1)}{2} = 1$; $y = \frac{-1 + 7}{2} = 3$; $(1; 3)$.
Середина $BD$:
$x = \frac{-2 + 4}{2} = 1$; $y = \frac{-4 + 10}{2} = 3$; $(1; 3)$.
Середини діагоналей збігаються — точка $O(1; 3)$, тобто діагоналі чотирикутника $ABCD$ точкою перетину діляться навпіл. Отже, $ABCD$ — паралелограм.
8. (2 бали.) Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку $C(-1; 4)$ і паралельна прямій $5x - y - 3 = 0$.
Розв'язок:
$5x - y - 3 = 0$, тобто $y = 5x - 3$; її кутовий коефіцієнт $k = 5$.
Паралельні прямі мають рівні кутові коефіцієнти, тож шукана пряма: $y = 5x + l$.
Підставимо координати точки $C(-1; 4)$:
$4 = 5 \cdot (-1) + l$, $l = 9$.
Відповідь: $y = 5x + 9$.