Сторінка 132
ЕК-1 [1М]. Метод координат на площині
Варіант 1
Середній рівень
1. (1 бал.) Складіть рівняння кола із центром у точці $Q(-4; 2)$ діаметра $d = 10$.
Розв'язок:
Радіус кола $R = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$, $R^2 = 25$.
Відповідь: $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 25$.
2. (2 бали.) Точка $C$ – середина відрізка $AB$, $A(-1; 2)$, $C(2; 6)$. Знайдіть:
1) координати точки $B$;
2) довжину відрізка $AB$.
Розв'язок:
1) Нехай $B(x; y)$. Оскільки $C$ — середина $AB$:
$\frac{-1 + x}{2} = 2$, $x = 5$;
$\frac{2 + y}{2} = 6$, $y = 10$.
$B(5; 10)$.
2) $AB = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (10 - 2)^2} =$
$= \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
Відповідь: 1) $B(5; 10)$;
2) $10$.
Достатній рівень
1. (1 бал). Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку $M(-2; 3)$ і кутовий коефіцієнт якої дорівнює 5.
Розв'язок:
Шукана пряма: $y = 5x + l$. Підставимо координати точки $M(-2; 3)$:
$3 = 5 \cdot (-2) + l$, $l = 13$.
Відповідь: $y = 5x + 13$.
2. (2 бали.) Знайдіть довжину медіани $AM$ трикутника $ABC$, якщо $A(8; 3)$, $B(0; -3)$, $C(4; -7)$.
Розв'язок:
$M$ — середина сторони $BC$:
$x_M = \frac{0 + 4}{2} = 2$; $y_M = \frac{-3 + (-7)}{2} = -5$; $M(2; -5)$.
$AM = \sqrt{(2 - 8)^2 + (-5 - 3)^2} =$
$= \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
Відповідь: $10$.
Високий рівень
1. (1 бал.) Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку $N(3; -4)$ паралельно прямій $6x - 3y + 11 = 0$.
Розв'язок:
$6x - 3y + 11 = 0$
$3y = 6x + 11$
$y = 2x + \frac{11}{3}$; кутовий коефіцієнт $k = 2$.
Паралельні прямі мають рівні кутові коефіцієнти, тож шукана пряма: $y = 2x + l$.
Підставимо координати точки $N(3; -4)$:
$-4 = 2 \cdot 3 + l$, $l = -10$.
Відповідь: $y = 2x - 10$.
2. (2 бали.) Доведіть, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами $A(-1; 1)$, $B(-3; 7)$, $C(3; 5)$, $D(5; -1)$ є ромбом.
Розв'язок:
Середина $AC$:
$x = \frac{-1 + 3}{2} = 1$; $y = \frac{1 + 5}{2} = 3$; $(1; 3)$.
Середина $BD$:
$x = \frac{-3 + 5}{2} = 1$; $y = \frac{7 + (-1)}{2} = 3$; $(1; 3)$.
Діагоналі точкою перетину діляться навпіл, тож $ABCD$ — паралелограм.
$AB = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (7 - 1)^2} =$
$= \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$;
$AD = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (-1 - 1)^2} =$
$= \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$.
Сусідні сторони паралелограма рівні: $AB = AD$. Отже, $ABCD$ — ромб.
