Сторінка 133
Середній рівень
1. (1 бал.) Складіть рівняння кола із центром у точці $Q(5; -3)$ діаметра $d = 8$.
Розв'язок:
Радіус кола $R = \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4$, $R^2 = 16$.
Відповідь: $(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 16$.
2. (2 бали.) Точка $C$ – середина відрізка $AB$, $B(3; -1)$, $C(7; -4)$. Знайдіть:
1) координати точки $A$;
2) довжину відрізка $AC$.
Розв'язок:
1) Нехай $A(x; y)$. Оскільки $C$ — середина $AB$:
$\frac{x + 3}{2} = 7$, $x = 11$;
$\frac{y + (-1)}{2} = -4$, $y = -7$.
$A(11; -7)$.
2) $AC = \sqrt{(7 - 11)^2 + (-4 - (-7))^2} =$
$= \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
Відповідь: 1) $A(11; -7)$;
2) $5$.
Достатній рівень
1. (1 бал). Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку $K(-3; 4)$ і кутовий коефіцієнт якої дорівнює 2.
Розв'язок:
Шукана пряма: $y = 2x + l$. Підставимо координати точки $K(-3; 4)$:
$4 = 2 \cdot (-3) + l$, $l = 10$.
Відповідь: $y = 2x + 10$.
2. (2 бали.) Знайдіть довжину медіани $BM$ трикутника $ABC$, якщо $A(2; 0)$, $B(7; 2)$, $C(4; -2)$.
Розв'язок:
$M$ — середина сторони $AC$:
$x_M = \frac{2 + 4}{2} = 3$; $y_M = \frac{0 + (-2)}{2} = -1$; $M(3; -1)$.
$BM = \sqrt{(3 - 7)^2 + (-1 - 2)^2} =$
$= \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
Відповідь: $5$.
Високий рівень
1. (1 бал.) Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку $L(2; -5)$ паралельно прямій $12x - 4y + 13 = 0$.
Розв'язок:
$12x - 4y + 13 = 0$
$4y = 12x + 13$
$y = 3x + \frac{13}{4}$; кутовий коефіцієнт $k = 3$.
Паралельні прямі мають рівні кутові коефіцієнти, тож шукана пряма: $y = 3x + l$.
Підставимо координати точки $L(2; -5)$:
$-5 = 3 \cdot 2 + l$, $l = -11$.
Відповідь: $y = 3x - 11$.
2. (2 бали.) Доведіть, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами $A(4; 2)$, $B(10; 0)$, $C(8; 6)$, $D(2; 8)$ є ромбом.
Розв'язок:
Середина $AC$:
$x = \frac{4 + 8}{2} = 6$; $y = \frac{2 + 6}{2} = 4$; $(6; 4)$.
Середина $BD$:
$x = \frac{10 + 2}{2} = 6$; $y = \frac{0 + 8}{2} = 4$; $(6; 4)$.
Діагоналі точкою перетину діляться навпіл, тож $ABCD$ — паралелограм.
$AB = \sqrt{(10 - 4)^2 + (0 - 2)^2} =$
$= \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$;
$AD = \sqrt{(2 - 4)^2 + (8 - 2)^2} =$
$= \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$.
Сусідні сторони паралелограма рівні: $AB = AD$. Отже, $ABCD$ — ромб.
