Сторінка 107
С-3А
1. Чи рівні вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CD}$, якщо $A(-3; 1)$, $B(0; 6)$, $C(1; 5)$, $D(4; 10)$?
Розв'язок:
Знайдемо координати векторів:
$\overrightarrow{AB}(0 - (-3); 6 - 1)$, тобто $\overrightarrow{AB}(3; 5)$;
$\overrightarrow{CD}(4 - 1; 10 - 5)$, тобто $\overrightarrow{CD}(3; 5)$.
Відповідні координати векторів рівні, тому $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.
Відповідь: так.
2. Дано $\vec{a}(x; 5)$, $\vec{b}(-3; y)$, $\vec{c}(4; 7)$, $\vec{a} - \vec{b} = \vec{c}$. Знайдіть $x$ та $y$.
Розв'язок:
$\vec{a} - \vec{b}(x - (-3); 5 - y)$, тобто $\vec{a} - \vec{b}(x + 3; 5 - y)$. Оскільки $\vec{a} - \vec{b} = \vec{c}$, то:
$x + 3 = 4$, звідси $x = 1$;
$5 - y = 7$, звідси $y = -2$.
Відповідь: $x = 1$, $y = -2$.
С-3Б
1. Модуль вектора $\vec{b}(-4; m - 1)$ дорівнює 5. Знайдіть $m$.
Розв'язок:
$|\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + (m - 1)^2} = 5$, тому:
$16 + (m - 1)^2 = 25$
$(m - 1)^2 = 9$
$m - 1 = 3$ або $m - 1 = -3$
$m = 4$ або $m = -2$.
Відповідь: $4$ або $-2$.
2. Дано точки $A(6; 0)$, $B(0; -10)$. Знайдіть координати точки $N$ такої, що $\overrightarrow{AN} - \overrightarrow{NB} = \vec{0}$.
Розв'язок:
$\overrightarrow{AN} - \overrightarrow{NB} = \vec{0}$, тому $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{NB}$. Отже, $N$ — середина відрізка $AB$:
$x = \frac{6 + 0}{2} = 3$;
$y = \frac{0 + (-10)}{2} = -5$.
Відповідь: $N(3; -5)$.
С-3В
1. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами $A(6; 1)$, $B(2; 1)$, $C(2; 6)$, $D(6; 6)$ є прямокутником.
Розв'язок:
$\overrightarrow{AB}(2 - 6; 1 - 1)$, тобто $\overrightarrow{AB}(-4; 0)$;
$\overrightarrow{DC}(2 - 6; 6 - 6)$, тобто $\overrightarrow{DC}(-4; 0)$.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, тому $AB \parallel DC$ і $AB = DC$. Отже, $ABCD$ — паралелограм.
Знайдемо діагоналі:
$\overrightarrow{AC}(2 - 6; 6 - 1)$, тобто $\overrightarrow{AC}(-4; 5)$;
$\overrightarrow{BD}(6 - 2; 6 - 1)$, тобто $\overrightarrow{BD}(4; 5)$.
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2} = \sqrt{41}$;
$|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{41}$.
Діагоналі паралелограма $ABCD$ рівні, тому $ABCD$ — прямокутник, що й треба було довести.
2. Дано вектори $\vec{a}(x; -3)$, $\vec{b}(2; 0)$, $\vec{c}(5; 4)$. Для якого значення $x$ модуль вектора $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ найменший?
Розв'язок:
$\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}(x - 2 + 5; -3 - 0 + 4)$, тобто $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}(x + 3; 1)$.
$|\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{(x + 3)^2 + 1^2}$.
Оскільки $(x + 3)^2 \ge 0$, модуль найменший, коли $x + 3 = 0$, тобто $x = -3$ (тоді модуль дорівнює $1$).
Відповідь: $x = -3$.