Сторінка 106
Варіант 1
С-3А
1. Чи рівні вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CD}$, якщо $A(-2; 1)$, $B(0; 5)$, $C(1; 7)$, $D(3; 10)$?
Розв'язок:
Знайдемо координати векторів:
$\overrightarrow{AB}(0 - (-2); 5 - 1)$, тобто $\overrightarrow{AB}(2; 4)$;
$\overrightarrow{CD}(3 - 1; 10 - 7)$, тобто $\overrightarrow{CD}(2; 3)$.
Другі координати векторів різні ($4 \ne 3$), тому вектори не рівні.
Відповідь: ні.
2. Дано $\vec{a}(-2; y)$, $\vec{b}(x; 4)$, $\vec{c}(5; -2)$, $\vec{a} - \vec{b} = \vec{c}$. Знайдіть $x$ та $y$.
Розв'язок:
$\vec{a} - \vec{b}(-2 - x; y - 4)$. Оскільки $\vec{a} - \vec{b} = \vec{c}$, то:
$-2 - x = 5$, звідси $x = -7$;
$y - 4 = -2$, звідси $y = 2$.
Відповідь: $x = -7$, $y = 2$.
С-3Б
1. Модуль вектора $\vec{a}(m + 1; -3)$ дорівнює 5. Знайдіть $m$.
Розв'язок:
$|\vec{a}| = \sqrt{(m + 1)^2 + (-3)^2} = 5$, тому:
$(m + 1)^2 + 9 = 25$
$(m + 1)^2 = 16$
$m + 1 = 4$ або $m + 1 = -4$
$m = 3$ або $m = -5$.
Відповідь: $3$ або $-5$.
2. Дано точки $A(0; -8)$, $B(10; 0)$. Знайдіть координати точки $M$ такої, що $\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{MB} = \vec{0}$.
Розв'язок:
$\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{MB} = \vec{0}$, тому $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}$. Отже, $M$ — середина відрізка $AB$:
$x = \frac{0 + 10}{2} = 5$;
$y = \frac{-8 + 0}{2} = -4$.
Відповідь: $M(5; -4)$.
С-3В
1. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами $A(-2; 3)$, $B(-2; -1)$, $C(3; -1)$, $D(3; 3)$ є прямокутником.
Розв'язок:
$\overrightarrow{AB}(-2 - (-2); -1 - 3)$, тобто $\overrightarrow{AB}(0; -4)$;
$\overrightarrow{DC}(3 - 3; -1 - 3)$, тобто $\overrightarrow{DC}(0; -4)$.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, тому $AB \parallel DC$ і $AB = DC$. Отже, $ABCD$ — паралелограм.
Знайдемо діагоналі:
$\overrightarrow{AC}(3 - (-2); -1 - 3)$, тобто $\overrightarrow{AC}(5; -4)$;
$\overrightarrow{BD}(3 - (-2); 3 - (-1))$, тобто $\overrightarrow{BD}(5; 4)$.
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{5^2 + (-4)^2} = \sqrt{41}$;
$|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41}$.
Діагоналі паралелограма $ABCD$ рівні, тому $ABCD$ — прямокутник, що й треба було довести.
2. Дано вектори $\vec{a}(-2; y)$, $\vec{b}(5; -1)$, $\vec{c}(0; 2)$. Для якого значення $y$ модуль вектора $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ найменший?
Розв'язок:
$\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}(-2 + 5 - 0; y - 1 - 2)$, тобто $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}(3; y - 3)$.
$|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| = \sqrt{3^2 + (y - 3)^2}$.
Оскільки $(y - 3)^2 \ge 0$, модуль найменший, коли $y - 3 = 0$, тобто $y = 3$ (тоді модуль дорівнює $3$).
Відповідь: $y = 3$.