Сторінка 24
228. Які з рівнянь є рівняннями кола:
1) $(x - 1)^2 + y^2 = 25$;
2) $x^2 + y = 7$;
3) $x^2 + y^2 = 9$;
4) $(x + 1)^2 - (y + 3)^2 = 100$;
5) $x^2 + (y + 7)^2 = 36$;
6) $-x^2 + y^2 = 100$?
Розв'язок:
Рівняння кола із центром $(a; b)$ і радіусом $R$ має вигляд $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.
1) Так: центр $(1; 0)$, $R = 5$.
2) Ні: $y$ не в квадраті.
3) Так: центр $(0; 0)$, $R = 3$.
4) Ні: між квадратами знак «−».
5) Так: центр $(0; -7)$, $R = 6$.
6) Ні: перед $x^2$ знак «−».
Відповідь: 1), 3), 5).
229. Знайдіть координати центра та радіус кола, заданого рівнянням:
1) $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 36$;
2) $x^2 + (y - 7)^2 = 49$;
3) $(x + 9)^2 + y^2 = 16$;
4) $x^2 + y^2 = 1$.
Розв'язок:
1) $(x - 3)^2 + (y - (-3))^2 = 6^2$: центр $(3; -3)$, $R = 6$.
2) $(x - 0)^2 + (y - 7)^2 = 7^2$: центр $(0; 7)$, $R = 7$.
3) $(x - (-9))^2 + (y - 0)^2 = 4^2$: центр $(-9; 0)$, $R = 4$.
4) $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 1^2$: центр $(0; 0)$, $R = 1$.
Відповідь: 1) $(3; -3)$, $R = 6$;
2) $(0; 7)$, $R = 7$;
3) $(-9; 0)$, $R = 4$;
4) $(0; 0)$, $R = 1$.
230. Знайдіть координати центра та радіус кола, заданого рівнянням:
1) $x^2 + (y + 5)^2 = 4$;
2) $x^2 + y^2 = 100$;
3) $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$;
4) $(x - 1)^2 + y^2 = 9$.
Розв'язок:
1) $(x - 0)^2 + (y - (-5))^2 = 2^2$: центр $(0; -5)$, $R = 2$.
2) $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 10^2$: центр $(0; 0)$, $R = 10$.
3) $(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 5^2$: центр $(-2; 1)$, $R = 5$.
4) $(x - 1)^2 + (y - 0)^2 = 3^2$: центр $(1; 0)$, $R = 3$.
Відповідь: 1) $(0; -5)$, $R = 2$;
2) $(0; 0)$, $R = 10$;
3) $(-2; 1)$, $R = 5$;
4) $(1; 0)$, $R = 3$.
231. Складіть рівняння кола із центром у точці $Q$, радіус якого дорівнює $r$, якщо:
1) $Q(-2; 3)$, $r = 2$;
2) $Q(0; 5)$, $r = 4$;
3) $Q(0; 0)$, $r = \sqrt{5}$;
4) $Q(4; 0)$, $r = 11$.
Розв'язок:
Підставляємо координати центра й радіус у рівняння $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.
1) $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$.
2) $x^2 + (y - 5)^2 = 16$.
3) $x^2 + y^2 = (\sqrt{5})^2$, тобто $x^2 + y^2 = 5$.
4) $(x - 4)^2 + y^2 = 121$.
Відповідь: 1) $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$;
2) $x^2 + (y - 5)^2 = 16$;
3) $x^2 + y^2 = 5$;
4) $(x - 4)^2 + y^2 = 121$.
232. Складіть рівняння кола із центром у точці $Q$, радіус якого дорівнює $r$, якщо:
1) $Q(-4; 0)$, $r = 7$;
2) $Q(0; 0)$, $r = 8$;
3) $Q(4; -3)$, $r = 13$;
4) $Q(0; -1)$, $r = \sqrt{3}$.
Розв'язок:
1) $(x + 4)^2 + y^2 = 49$.
2) $x^2 + y^2 = 64$.
3) $(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 169$.
4) $x^2 + (y + 1)^2 = 3$.
Відповідь: 1) $(x + 4)^2 + y^2 = 49$;
2) $x^2 + y^2 = 64$;
3) $(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 169$;
4) $x^2 + (y + 1)^2 = 3$.
233. Складіть рівняння кола із центром у точці $Q$, діаметр якого дорівнює $d$, якщо:
1) $Q(-2; 3)$, $d = 6$;
2) $Q(4; -1)$, $d = 9$;
3) $Q(0; -15)$, $d = 2\sqrt{5}$;
4) $Q(-7; -1)$, $d = \sqrt{14}$.
Розв'язок:
Радіус $r = \frac{d}{2}$, тоді $r^2 = \frac{d^2}{4}$.
1) $r = 3$, $r^2 = 9$:
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$.
2) $r = 4{,}5$, $r^2 = 20{,}25$:
$(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 20{,}25$.
3) $r = \sqrt{5}$, $r^2 = 5$:
$x^2 + (y + 15)^2 = 5$.
4) $r^2 = \frac{14}{4} = 3{,}5$:
$(x + 7)^2 + (y + 1)^2 = 3{,}5$.
Відповідь: 1) $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$;
2) $(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 20{,}25$;
3) $x^2 + (y + 15)^2 = 5$;
4) $(x + 7)^2 + (y + 1)^2 = 3{,}5$.
234. Складіть рівняння кола із центром у точці $Q$, діаметр якого дорівнює $d$, якщо:
1) $Q(3; -4)$, $d = 8$;
2) $Q(-5; 2)$, $d = 7$;
3) $Q(7; 0)$, $d = 2\sqrt{7}$;
4) $Q(-1; -2)$, $d = \sqrt{10}$.
Розв'язок:
Радіус $r = \frac{d}{2}$, тоді $r^2 = \frac{d^2}{4}$.
1) $r = 4$, $r^2 = 16$:
$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16$.
2) $r = 3{,}5$, $r^2 = 12{,}25$:
$(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 12{,}25$.
3) $r = \sqrt{7}$, $r^2 = 7$:
$(x - 7)^2 + y^2 = 7$.
4) $r^2 = \frac{10}{4} = 2{,}5$:
$(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 2{,}5$.
Відповідь: 1) $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16$;
2) $(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 12{,}25$;
3) $(x - 7)^2 + y^2 = 7$;
4) $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 2{,}5$.
235. Побудуйте на координатній площині коло, задане рівнянням:
1) $x^2 + y^2 = 25$;
2) $(x - 1)^2 + y^2 = 9$;
3) $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4$;
4) $x^2 + (y - 3)^2 = 16$.
Розв'язок:
Знаходимо центр і радіус кола, позначаємо центр і проводимо коло циркулем.
1) Центр $(0; 0)$, $R = 5$.
2) Центр $(1; 0)$, $R = 3$.
3) Центр $(-3; 2)$, $R = 2$.
4) Центр $(0; 3)$, $R = 4$.
236. Побудуйте на координатній площині коло, задане рівнянням:
1) $x^2 + (y + 2)^2 = 9$;
2) $x^2 + y^2 = 16$;
3) $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 25$;
4) $(x - 2)^2 + y^2 = 4$.
Розв'язок:
1) Центр $(0; -2)$, $R = 3$.
2) Центр $(0; 0)$, $R = 4$.
3) Центр $(3; -3)$, $R = 5$.
4) Центр $(2; 0)$, $R = 2$.
237. Коло задане рівнянням $(x + 1)^2 + y^2 = 25$. Чи належить колу точка:
1) $A(0; 5)$;
2) $B(-4; 4)$;
3) $C(-1; 5)$;
4) $D(4; 1)$;
5) $E(3; -4)$;
6) $F(4; 0)$?
Розв'язок:
Підставляємо координати точки в ліву частину рівняння; точка належить колу, якщо отримаємо $25$.
1) $(0 + 1)^2 + 5^2 = 26 \ne 25$ — не належить.
2) $(-4 + 1)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ — належить.
3) $(-1 + 1)^2 + 5^2 = 25$ — належить.
4) $(4 + 1)^2 + 1^2 = 26 \ne 25$ — не належить.
5) $(3 + 1)^2 + (-4)^2 = 32 \ne 25$ — не належить.
6) $(4 + 1)^2 + 0^2 = 25$ — належить.
Відповідь: належать $B$, $C$, $F$; не належать $A$, $D$, $E$.
238. Коло задане рівнянням $x^2 + (y - 2)^2 = 100$. Чи належить колу точка:
1) $A(10; 2)$;
2) $B(8; 7)$;
3) $C(-8; 8)$;
4) $D(0; 12)$;
5) $E(6; 9)$;
6) $F(5; 11)$?
Розв'язок:
1) $10^2 + (2 - 2)^2 = 100$ — належить.
2) $8^2 + (7 - 2)^2 = 64 + 25 = 89 \ne 100$ — не належить.
3) $(-8)^2 + (8 - 2)^2 = 64 + 36 = 100$ — належить.
4) $0^2 + (12 - 2)^2 = 100$ — належить.
5) $6^2 + (9 - 2)^2 = 36 + 49 = 85 \ne 100$ — не належить.
6) $5^2 + (11 - 2)^2 =$
$= 25 + 81 = 106 \ne 100$ — не належить.
Відповідь: належать $A$, $C$, $D$; не належать $B$, $E$, $F$.
239. Точка $Q$ – центр кола, а $QM$ – його радіус. Складіть рівняння кола, якщо $Q(-1; 2)$, $M(9; 2)$.
Розв'язок:
$R^2 = QM^2$:
$QM^2 = (9 - (-1))^2 + (2 - 2)^2 =$
$= 100$.
$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 100$.
Відповідь: $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 100$.
240. Точка $Q$ – центр кола, а $QN$ – його радіус. Складіть рівняння кола, якщо $Q(3; -1)$, $N(3; 4)$.
Розв'язок:
$R^2 = QN^2$:
$QN^2 = (3 - 3)^2 + (4 - (-1))^2 =$
$= 25$.
$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 25$.
Відповідь: $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 25$.