Сторінка 25
241. Складіть рівняння кола із центром у точці $Q(2; 0)$, що проходить через точку $A(6; -3)$.
Розв'язок:
Радіус кола $R = QA$:
$R^2 = (6 - 2)^2 + (-3 - 0)^2 =$
$= 16 + 9 = 25$.
$(x - 2)^2 + y^2 = 25$.
Відповідь: $(x - 2)^2 + y^2 = 25$.
242. Складіть рівняння кола із центром у точці $Q(0; -3)$, що проходить через точку $B(8; 3)$.
Розв'язок:
$R^2 = QB^2$:
$QB^2 = (8 - 0)^2 + (3 - (-3))^2 =$
$= 64 + 36 = 100$.
$x^2 + (y + 3)^2 = 100$.
Відповідь: $x^2 + (y + 3)^2 = 100$.
243. 1) Складіть рівняння кола із центром у точці $(1; -2)$, що проходить через початок координат.
2) Складіть рівняння кола із центром у початку координат, що проходить через точку $(1; -2)$.
Розв'язок:
В обох випадках радіус дорівнює відстані між точками $(0; 0)$ і $(1; -2)$:
$R^2 = 1^2 + (-2)^2 = 5$.
1) $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5$.
2) $x^2 + y^2 = 5$.
Відповідь: 1) $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5$;
2) $x^2 + y^2 = 5$.
244. 1) Складіть рівняння кола із центром у початку координат, що проходить через точку $(-2; -3)$.
2) Складіть рівняння кола із центром у точці $(-2; -3)$, що проходить через початок координат.
Розв'язок:
$R^2 = (-2)^2 + (-3)^2 = 13$.
1) $x^2 + y^2 = 13$.
2) $(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 13$.
Відповідь: 1) $x^2 + y^2 = 13$;
2) $(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 13$.
245. Складіть рівняння кола, для якого $CD$ є діаметром, якщо $C(10; -8)$, $D(0; 16)$.
Розв'язок:
Центр кола $Q$ — середина діаметра $CD$:
$x_Q = \frac{10 + 0}{2} = 5$; $y_Q = \frac{-8 + 16}{2} = 4$; $Q(5; 4)$.
$R^2 = QD^2 = (0 - 5)^2 + (16 - 4)^2 =$
$= 25 + 144 = 169$.
$(x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 169$.
Відповідь: $(x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 169$.
246. Складіть рівняння кола, для якого $MN$ є діаметром, якщо $M(0; -2)$, $N(6; -10)$.
Розв'язок:
Центр $Q$ — середина $MN$:
$x_Q = \frac{0 + 6}{2} = 3$; $y_Q = \frac{-2 + (-10)}{2} = -6$; $Q(3; -6)$.
$R^2 = QM^2$:
$QM^2 = (0 - 3)^2 + (-2 - (-6))^2 =$
$= 9 + 16 = 25$.
$(x - 3)^2 + (y + 6)^2 = 25$.
Відповідь: $(x - 3)^2 + (y + 6)^2 = 25$.
247. На колі $x^2 + y^2 = 625$ знайдіть точки:
1) з абсцисою 7;
2) з ординатою −24;
3) такі, що лежать на осі абсцис;
4) такі, що лежать на осі ординат.
Розв'язок:
1) $x = 7$:
$49 + y^2 = 625$
$y^2 = 576$
$y = 24$ або $y = -24$.
Точки $(7; 24)$ і $(7; -24)$.
2) $y = -24$:
$x^2 + 576 = 625$
$x^2 = 49$
$x = 7$ або $x = -7$.
Точки $(7; -24)$ і $(-7; -24)$.
3) $y = 0$:
$x^2 = 625$, $x = \pm 25$.
Точки $(25; 0)$ і $(-25; 0)$.
4) $x = 0$:
$y^2 = 625$, $y = \pm 25$.
Точки $(0; 25)$ і $(0; -25)$.
Відповідь: 1) $(7; 24)$, $(7; -24)$;
2) $(7; -24)$, $(-7; -24)$;
3) $(25; 0)$, $(-25; 0)$;
4) $(0; 25)$, $(0; -25)$.
248. На колі $x^2 + y^2 = 225$ знайдіть точки:
1) з абсцисою −12;
2) з ординатою 9;
3) такі, що лежать на осі абсцис;
4) такі, що лежать на осі ординат.
Розв'язок:
1) $x = -12$:
$144 + y^2 = 225$
$y^2 = 81$
$y = 9$ або $y = -9$.
Точки $(-12; 9)$ і $(-12; -9)$.
2) $y = 9$:
$x^2 + 81 = 225$
$x^2 = 144$
$x = 12$ або $x = -12$.
Точки $(12; 9)$ і $(-12; 9)$.
3) $y = 0$:
$x^2 = 225$, $x = \pm 15$.
Точки $(15; 0)$ і $(-15; 0)$.
4) $x = 0$:
$y^2 = 225$, $y = \pm 15$.
Точки $(0; 15)$ і $(0; -15)$.
Відповідь: 1) $(-12; 9)$, $(-12; -9)$;
2) $(12; 9)$, $(-12; 9)$;
3) $(15; 0)$, $(-15; 0)$;
4) $(0; 15)$, $(0; -15)$.
249. Знайдіть центр та радіус кола, що задане рівнянням:
1) $x^2 + 6x + y^2 = 0$;
2) $x^2 - 4x + y^2 + 2y - 3 = 0$.
Розв'язок:
Виділяємо повні квадрати.
1) $(x^2 + 6x + 9) + y^2 = 9$
$(x + 3)^2 + y^2 = 9$
Центр $Q(-3; 0)$, $R = 3$.
2) $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) =$
$= 3 + 4 + 1$
$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 8$
Центр $Q(2; -1)$, $R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Відповідь: 1) $Q(-3; 0)$, $R = 3$;
2) $Q(2; -1)$, $R = 2\sqrt{2}$.
250. Знайдіть центр та радіус кола, що задане рівнянням:
1) $x^2 + y^2 - 8y = 0$;
2) $x^2 + 2x + y^2 - 6y - 5 = 0$.
Розв'язок:
1) $x^2 + (y^2 - 8y + 16) = 16$
$x^2 + (y - 4)^2 = 16$
Центр $Q(0; 4)$, $R = 4$.
2) $(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) =$
$= 5 + 1 + 9$
$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 15$
Центр $Q(-1; 3)$, $R = \sqrt{15}$.
Відповідь: 1) $Q(0; 4)$, $R = 4$;
2) $Q(-1; 3)$, $R = \sqrt{15}$.
251. Знайдіть відстань між центрами кіл, що задані рівняннями $x^2 - 4x + y^2 + 2y - 11 = 0$ та $x^2 + 2x + y^2 - 6y - 15 = 0$.
Розв'язок:
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) =$
$= 11 + 4 + 1$
$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 16$; центр $Q_1(2; -1)$.
$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) =$
$= 15 + 1 + 9$
$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 25$; центр $Q_2(-1; 3)$.
$Q_1Q_2 = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (3 + 1)^2} =$
$= \sqrt{9 + 16} = 5$.
Відповідь: $5$.
252. Знайдіть відстань між центрами кіл, що задані рівняннями $x^2 + y^2 = 19$ та $x^2 - 14x + y^2 + 48y - 13 = 0$.
Розв'язок:
Центр першого кола $Q_1(0; 0)$.
$x^2 - 14x + 49 + y^2 + 48y + 576 =$
$= 13 + 49 + 576$
$(x - 7)^2 + (y + 24)^2 = 638$; центр $Q_2(7; -24)$.
$Q_1Q_2 = \sqrt{7^2 + (-24)^2} =$
$= \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$.
Відповідь: $25$.
253. Які з точок належать колу із центром у точці $Q(-1; 2)$ і радіусом 10:
1) $A(5; 10)$;
2) $B(0; 11)$;
3) $C(-8; 9)$;
4) $D(-9; 8)$?
Розв'язок:
Рівняння кола: $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 100$.
1) $(5 + 1)^2 + (10 - 2)^2 =$
$= 36 + 64 = 100$ — належить.
2) $(0 + 1)^2 + (11 - 2)^2 = 1 + 81 = 82$ — не належить.
3) $(-8 + 1)^2 + (9 - 2)^2 = 49 + 49 = 98$ — не належить.
4) $(-9 + 1)^2 + (8 - 2)^2 =$
$= 64 + 36 = 100$ — належить.
Відповідь: $A$ і $D$.
254. Які з точок належать колу із центром у точці $Q(2; -3)$ і радіусом 5:
1) $M(0; 7)$;
2) $N(-2; 0)$;
3) $K(5; -7)$;
4) $L(0; 1)$?
Розв'язок:
Рівняння кола: $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$.
1) $(0 - 2)^2 + (7 + 3)^2 = 4 + 100 = 104$ — не належить.
2) $(-2 - 2)^2 + (0 + 3)^2 = 16 + 9 = 25$ — належить.
3) $(5 - 2)^2 + (-7 + 3)^2 = 9 + 16 = 25$ — належить.
4) $(0 - 2)^2 + (1 + 3)^2 = 4 + 16 = 20$ — не належить.
Відповідь: $N$ і $K$.
255. У яких точках коло, що задане рівнянням $(x - 8)^2 + (y + 15)^2 = 289$, перетинає:
1) вісь абсцис;
2) вісь ординат?
Розв'язок:
1) $y = 0$:
$(x - 8)^2 + 225 = 289$
$(x - 8)^2 = 64$
$x - 8 = 8$ або $x - 8 = -8$
$x = 16$ або $x = 0$.
Точки $(16; 0)$ і $(0; 0)$.
2) $x = 0$:
$64 + (y + 15)^2 = 289$
$(y + 15)^2 = 225$
$y + 15 = 15$ або $y + 15 = -15$
$y = 0$ або $y = -30$.
Точки $(0; 0)$ і $(0; -30)$.
Відповідь: 1) $(16; 0)$, $(0; 0)$;
2) $(0; 0)$, $(0; -30)$.
256. У яких точках коло, що задане рівнянням $(x + 6)^2 + (y - 8)^2 = 100$, перетинає:
1) вісь абсцис;
2) вісь ординат?
Розв'язок:
1) $y = 0$:
$(x + 6)^2 + 64 = 100$
$(x + 6)^2 = 36$
$x + 6 = 6$ або $x + 6 = -6$
$x = 0$ або $x = -12$.
Точки $(0; 0)$ і $(-12; 0)$.
2) $x = 0$:
$36 + (y - 8)^2 = 100$
$(y - 8)^2 = 64$
$y - 8 = 8$ або $y - 8 = -8$
$y = 16$ або $y = 0$.
Точки $(0; 0)$ і $(0; 16)$.
Відповідь: 1) $(0; 0)$, $(-12; 0)$;
2) $(0; 0)$, $(0; 16)$.