Сторінка 28
286. Знайдіть координати точок перетину прямої $x + 4y - 12 = 0$ з осями координат.
Розв'язок:
Точка перетину з віссю $x$: $y = 0$.
$x + 4 \cdot 0 - 12 = 0$
$x = 12$
Точка: $(12; 0)$.
Точка перетину з віссю $y$: $x = 0$.
$0 + 4y - 12 = 0$
$4y = 12$
$y = 3$
Точка: $(0; 3)$.
Відповідь: $(12; 0)$, $(0; 3)$.
287. Запишіть рівняння прямої $a$ на малюнках 14–16.
Розв'язок:
Мал. 14. Пряма $a$ перпендикулярна до осі $x$, тобто паралельна осі $y$, і перетинає вісь $x$ у точці з абсцисою $3$. Усі точки прямої мають абсцису $3$, тому її рівняння: $x = 3$.
Мал. 15. Пряма $a$ паралельна осі $x$ і перетинає вісь $y$ у точці з ординатою $-1$. Усі точки прямої мають ординату $-1$: $y = -1$.
Мал. 16. Пряма $a$ паралельна осі $y$ і проходить через точку $B(-2; 3)$. Усі точки прямої мають абсцису $-2$: $x = -2$.
Відповідь: $x = 3$; $y = -1$; $x = -2$.
288. Запишіть рівняння прямої $b$ на малюнках 17–19.
Розв'язок:
Мал. 17. Пряма $b$ паралельна осі $x$ і перетинає вісь $y$ у точці з ординатою $4$: $y = 4$.
Мал. 18. Пряма $b$ паралельна осі $y$ і перетинає вісь $x$ у точці з абсцисою $-3$: $x = -3$.
Мал. 19. Пряма $b$ паралельна осі $x$ і проходить через точку $K(5; -2)$. Усі точки прямої мають ординату $-2$: $y = -2$.
Відповідь: $y = 4$; $x = -3$; $y = -2$.
289. Запишіть рівняння прямої, що проходить через точку $A(-4; -1)$ і паралельна:
1) осі абсцис;
2) осі ординат.
Розв'язок:
1) Пряма, паралельна осі абсцис, має рівняння виду $y = c$. Вона проходить через точку $A(-4; -1)$, тому $c = -1$: $y = -1$.
2) Пряма, паралельна осі ординат, має рівняння виду $x = c$. Через точку $A(-4; -1)$: $x = -4$.
Відповідь: 1) $y = -1$;
2) $x = -4$.
290. Запишіть рівняння прямої, що проходить через точку $N(2; 4)$ і паралельна:
1) осі абсцис;
2) осі ординат.
Розв'язок:
1) Пряма, паралельна осі абсцис, має рівняння виду $y = c$. Через точку $N(2; 4)$: $y = 4$.
2) Пряма, паралельна осі ординат, має рівняння виду $x = c$. Через точку $N(2; 4)$: $x = 2$.
Відповідь: 1) $y = 4$;
2) $x = 2$.
291. Які з точок належать прямій $x = 3$, а які – прямій $y = 3$:
1) $M(1; 2)$;
2) $B(3; -9)$;
3) $C(3; 3)$;
4) $D(0; 3)$?
Розв'язок:
Прямій $x = 3$ належать точки з абсцисою $3$: це $B(3; -9)$ і $C(3; 3)$.
Прямій $y = 3$ належать точки з ординатою $3$: це $C(3; 3)$ і $D(0; 3)$.
Точка $M(1; 2)$ не належить жодній з прямих.
Відповідь: прямій $x = 3$ — $B$ і $C$;
прямій $y = 3$ — $C$ і $D$.
292. Які з точок належать прямій $x = -2$, а які – прямій $y = -2$:
1) $A(-2; -2)$;
2) $F(-1; -1)$;
3) $K(-2; 11)$;
4) $N(14; -2)$?
Розв'язок:
Прямій $x = -2$ належать точки з абсцисою $-2$: це $A(-2; -2)$ і $K(-2; 11)$.
Прямій $y = -2$ належать точки з ординатою $-2$: це $A(-2; -2)$ і $N(14; -2)$.
Точка $F(-1; -1)$ не належить жодній з прямих.
Відповідь: прямій $x = -2$ — $A$ і $K$;
прямій $y = -2$ — $A$ і $N$.
293. Яким є кутовий коефіцієнт прямої, якщо вона утворює з додатним напрямком осі абсцис кут:
1) $45^\circ$;
2) $120^\circ$?
Розв'язок:
Кутовий коефіцієнт прямої $k = \operatorname{tg}\alpha$, де $\alpha$ — кут, який пряма утворює з додатним напрямком осі абсцис.
1) $k = \operatorname{tg}45^\circ = 1$.
2) $k = \operatorname{tg}120^\circ =$
$= \operatorname{tg}(180^\circ - 60^\circ) =$
$= -\operatorname{tg}60^\circ = -\sqrt{3}$.
Відповідь: 1) $1$;
2) $-\sqrt{3}$.
294. Яким є кутовий коефіцієнт прямої, якщо вона утворює з додатним напрямком осі абсцис кут:
1) $30^\circ$;
2) $135^\circ$?
Розв'язок:
1) $k = \operatorname{tg}30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
2) $k = \operatorname{tg}135^\circ =$
$= \operatorname{tg}(180^\circ - 45^\circ) =$
$= -\operatorname{tg}45^\circ = -1$.
Відповідь: 1) $\frac{\sqrt{3}}{3}$;
2) $-1$.
295. Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої $KL$, якщо:
1) $K(-1; 3)$, $L(0; 5)$;
2) $K(2; -3)$, $L(-2; 1)$.
Розв'язок:
Кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через точки $(x_1; y_1)$ і $(x_2; y_2)$: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
1) $k = \frac{5 - 3}{0 - (-1)} = \frac{2}{1} = 2$.
2) $k = \frac{1 - (-3)}{-2 - 2} = \frac{4}{-4} = -1$.
Відповідь: 1) $2$;
2) $-1$.
296. Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої $MN$, якщо:
1) $M(4; -1)$, $N(5; -3)$;
2) $M(2; 1)$, $N(4; 3)$.
Розв'язок:
1) $k = \frac{-3 - (-1)}{5 - 4} = \frac{-2}{1} = -2$.
2) $k = \frac{3 - 1}{4 - 2} = \frac{2}{2} = 1$.
Відповідь: 1) $-2$;
2) $1$.