Сторінка 29
297. Запишіть рівняння прямої у вигляді $y = kx + l$ та знайдіть її кутовий коефіцієнт:
1) $3x + y - 7 = 0$;
2) $4x - 3y + 11 = 0$.
Розв'язок:
Виразимо $y$ через $x$.
1) $3x + y - 7 = 0$
$y = -3x + 7$
Кутовий коефіцієнт $k = -3$.
2) $4x - 3y + 11 = 0$
$3y = 4x + 11$
$y = \frac{4}{3}x + \frac{11}{3}$
Кутовий коефіцієнт $k = \frac{4}{3}$.
Відповідь: 1) $y = -3x + 7$, $k = -3$;
2) $y = \frac{4}{3}x + \frac{11}{3}$, $k = \frac{4}{3}$.
298. Запишіть рівняння прямої у вигляді $y = kx + l$ та знайдіть її кутовий коефіцієнт:
1) $2x - y + 9 = 0$;
2) $10x + 4y - 13 = 0$.
Розв'язок:
1) $2x - y + 9 = 0$
$y = 2x + 9$
Кутовий коефіцієнт $k = 2$.
2) $10x + 4y - 13 = 0$
$4y = -10x + 13$
$y = -2{,}5x + 3{,}25$
Кутовий коефіцієнт $k = -2{,}5$.
Відповідь: 1) $y = 2x + 9$, $k = 2$;
2) $y = -2{,}5x + 3{,}25$, $k = -2{,}5$.
299. Наведіть приклад прямої, яка:
1) паралельна прямій $y = -\frac{1}{2}x + 7$;
2) перетинає пряму $y = 8x + 19$;
3) паралельна прямій $2x + 5y - 19 = 0$;
4) перетинає пряму $7x - 9y + 1 = 0$.
Розв'язок:
Прямі $y = k_1x + l_1$ і $y = k_2x + l_2$ паралельні, якщо $k_1 = k_2$ і $l_1 \ne l_2$, і перетинаються, якщо $k_1 \ne k_2$.
1) $k = -\frac{1}{2}$, вільний член інший, наприклад $y = -\frac{1}{2}x + 1$.
2) $k = 8$; візьмемо інший кутовий коефіцієнт, наприклад $y = x$.
3) $5y = -2x + 19$, $y = -\frac{2}{5}x + \frac{19}{5}$; $k = -\frac{2}{5}$. Наприклад, $y = -\frac{2}{5}x$, тобто $2x + 5y = 0$.
4) $9y = 7x + 1$, $y = \frac{7}{9}x + \frac{1}{9}$; $k = \frac{7}{9}$. Наприклад, $y = 2x$.
Відповідь (приклади): 1) $y = -\frac{1}{2}x + 1$;
2) $y = x$;
3) $2x + 5y = 0$;
4) $y = 2x$.
300. Запишіть приклад прямої, яка:
1) перетинає пряму $y = \frac{1}{3}x - 8$;
2) паралельна прямій $y = 4x + 13$;
3) перетинає пряму $3x + 2y - 11 = 0$;
4) паралельна прямій $4x - 5y - 11 = 0$.
Розв'язок:
1) $k = \frac{1}{3}$; візьмемо інший кутовий коефіцієнт, наприклад $y = x$.
2) $k = 4$, вільний член інший, наприклад $y = 4x$.
3) $2y = -3x + 11$, $y = -\frac{3}{2}x + \frac{11}{2}$; $k = -\frac{3}{2}$. Наприклад, $y = x$.
4) $5y = 4x - 11$, $y = \frac{4}{5}x - \frac{11}{5}$; $k = \frac{4}{5}$. Наприклад, $y = \frac{4}{5}x$, тобто $4x - 5y = 0$.
Відповідь (приклади): 1) $y = x$;
2) $y = 4x$;
3) $y = x$;
4) $4x - 5y = 0$.
301. Запишіть рівняння прямих, кожна з яких паралельна осі абсцис і відтинає на осі ординат відрізок, довжина якого дорівнює 3.
Розв'язок:
Пряма, паралельна осі абсцис, має рівняння $y = c$ і перетинає вісь ординат у точці $(0; c)$. Відрізок від початку координат до цієї точки має довжину $|c| = 3$, тому $c = 3$ або $c = -3$.
Відповідь: $y = 3$ і $y = -3$.
302. Запишіть рівняння прямих, кожна з яких паралельна осі ординат і відтинає на осі абсцис відрізок, довжина якого дорівнює 5.
Розв'язок:
Пряма, паралельна осі ординат, має рівняння $x = c$ і перетинає вісь абсцис у точці $(c; 0)$; $|c| = 5$, тому $c = 5$ або $c = -5$.
Відповідь: $x = 5$ і $x = -5$.
303. Складіть рівняння прямої, що проходить через точки:
1) $A(2; -1)$ і $B(3; -1)$;
2) $C(5; -1)$ і $D(5; 8)$;
3) $K(-1; 3)$ і $M(1; 5)$;
4) $N(2; 0)$ і $L(-3; 4)$.
Розв'язок:
Рівняння прямої, що проходить через точки $(x_1; y_1)$ і $(x_2; y_2)$: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.
1) Ординати точок $A$ і $B$ рівні ($-1$), тому рівняння прямої $AB$: $y = -1$.
2) Абсциси точок $C$ і $D$ рівні ($5$), тому рівняння прямої $CD$: $x = 5$.
3) $\frac{x + 1}{1 + 1} = \frac{y - 3}{5 - 3}$
$\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{2}$
$x + 1 = y - 3$
$x - y + 4 = 0$
4) $\frac{x - 2}{-3 - 2} = \frac{y - 0}{4 - 0}$
$\frac{x - 2}{-5} = \frac{y}{4}$
$4(x - 2) = -5y$
$4x - 8 = -5y$
$4x + 5y - 8 = 0$
Відповідь: 1) $y = -1$;
2) $x = 5$;
3) $x - y + 4 = 0$;
4) $4x + 5y - 8 = 0$.
304. Складіть рівняння прямої, що проходить через точки:
1) $A(-6; -2)$ і $B(-6; 3)$;
2) $C(-3; 4)$ і $D(7; 4)$;
3) $K(3; 2)$ і $L(5; 0)$;
4) $M(4; 3)$ і $N(-2; -1)$.
Розв'язок:
1) Абсциси точок $A$ і $B$ рівні ($-6$): $x = -6$.
2) Ординати точок $C$ і $D$ рівні ($4$): $y = 4$.
3) $\frac{x - 3}{5 - 3} = \frac{y - 2}{0 - 2}$
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{-2}$
$x - 3 = -(y - 2)$
$x - 3 = -y + 2$
$x + y - 5 = 0$
4) $\frac{x - 4}{-2 - 4} = \frac{y - 3}{-1 - 3}$
$\frac{x - 4}{-6} = \frac{y - 3}{-4}$
$-4(x - 4) = -6(y - 3)$
$2(x - 4) = 3(y - 3)$
$2x - 8 = 3y - 9$
$2x - 3y + 1 = 0$
Відповідь: 1) $x = -6$;
2) $y = 4$;
3) $x + y - 5 = 0$;
4) $2x - 3y + 1 = 0$.
305. Складіть рівняння прямої, що проходить через початок координат і точку:
1) $A(0; -3)$;
2) $B(5; 0)$;
3) $C(-2; 2)$;
4) $D(-8; -1)$.
Розв'язок:
1) Точки $O(0; 0)$ і $A(0; -3)$ лежать на осі ординат, її рівняння $x = 0$.
2) Точки $O(0; 0)$ і $B(5; 0)$ лежать на осі абсцис, її рівняння $y = 0$.
Невертикальна пряма, що проходить через початок координат, має рівняння $y = kx$.
3) $C(-2; 2)$: $2 = k \cdot (-2)$, $k = -1$.
$y = -x$, тобто $x + y = 0$.
4) $D(-8; -1)$: $-1 = k \cdot (-8)$, $k = \frac{1}{8}$.
$y = \frac{1}{8}x$, тобто $x - 8y = 0$.
Відповідь: 1) $x = 0$;
2) $y = 0$;
3) $x + y = 0$;
4) $x - 8y = 0$.
306. Складіть рівняння прямої, що проходить через початок координат і точку:
1) $K(-4; 0)$;
2) $L(0; 8)$;
3) $M(-3; -3)$;
4) $N(-1; 5)$.
Розв'язок:
1) Точки $O$ і $K(-4; 0)$ лежать на осі абсцис: $y = 0$.
2) Точки $O$ і $L(0; 8)$ лежать на осі ординат: $x = 0$.
3) $y = kx$; $-3 = k \cdot (-3)$, $k = 1$.
$y = x$, тобто $x - y = 0$.
4) $y = kx$; $5 = k \cdot (-1)$, $k = -5$.
$y = -5x$, тобто $5x + y = 0$.
Відповідь: 1) $y = 0$;
2) $x = 0$;
3) $x - y = 0$;
4) $5x + y = 0$.
307. Складіть рівняння прямих, що містять сторони трикутника $KLM$, якщо $K(0; -2)$, $L(1; -3)$, $M(5; 3)$.
Розв'язок:
Пряма $KL$:
$\frac{x - 0}{1 - 0} = \frac{y + 2}{-3 + 2}$
$x = -(y + 2)$
$x + y + 2 = 0$
Пряма $LM$:
$\frac{x - 1}{5 - 1} = \frac{y + 3}{3 + 3}$
$\frac{x - 1}{4} = \frac{y + 3}{6}$
$6(x - 1) = 4(y + 3)$
$3(x - 1) = 2(y + 3)$
$3x - 3 = 2y + 6$
$3x - 2y - 9 = 0$
Пряма $KM$:
$\frac{x - 0}{5 - 0} = \frac{y + 2}{3 + 2}$
$\frac{x}{5} = \frac{y + 2}{5}$
$x = y + 2$
$x - y - 2 = 0$
Відповідь: $KL$: $x + y + 2 = 0$;
$LM$: $3x - 2y - 9 = 0$;
$KM$: $x - y - 2 = 0$.
308. Складіть рівняння прямих, що містять сторони трикутника $ABC$, якщо $A(4; 0)$, $B(6; 2)$, $C(-1; 5)$.
Розв'язок:
Пряма $AB$:
$\frac{x - 4}{6 - 4} = \frac{y - 0}{2 - 0}$
$\frac{x - 4}{2} = \frac{y}{2}$
$x - 4 = y$
$x - y - 4 = 0$
Пряма $BC$:
$\frac{x - 6}{-1 - 6} = \frac{y - 2}{5 - 2}$
$\frac{x - 6}{-7} = \frac{y - 2}{3}$
$3(x - 6) = -7(y - 2)$
$3x - 18 = -7y + 14$
$3x + 7y - 32 = 0$
Пряма $AC$:
$\frac{x - 4}{-1 - 4} = \frac{y - 0}{5 - 0}$
$\frac{x - 4}{-5} = \frac{y}{5}$
$x - 4 = -y$
$x + y - 4 = 0$
Відповідь: $AB$: $x - y - 4 = 0$;
$BC$: $3x + 7y - 32 = 0$;
$AC$: $x + y - 4 = 0$.
309. Складіть рівняння прямої, що містить медіану $BN$ трикутника $ABC$, якщо $A(-3; 2)$, $B(5; 4)$, $C(-7; -2)$.
Розв'язок:
$N$ — середина $AC$:
$x_N = \frac{-3 + (-7)}{2} = -5$;
$y_N = \frac{2 + (-2)}{2} = 0$.
$N(-5; 0)$.
Пряма $BN$:
$\frac{x - 5}{-5 - 5} = \frac{y - 4}{0 - 4}$
$\frac{x - 5}{-10} = \frac{y - 4}{-4}$
$2(x - 5) = 5(y - 4)$
$2x - 10 = 5y - 20$
$2x - 5y + 10 = 0$
Відповідь: $2x - 5y + 10 = 0$.
310. Складіть рівняння прямої, що містить медіану $CM$ трикутника $ABC$, якщо $A(4; -2)$, $B(-4; 8)$, $C(3; 2)$.
Розв'язок:
$M$ — середина $AB$:
$x_M = \frac{4 + (-4)}{2} = 0$;
$y_M = \frac{-2 + 8}{2} = 3$.
$M(0; 3)$.
Пряма $CM$:
$\frac{x - 3}{0 - 3} = \frac{y - 2}{3 - 2}$
$\frac{x - 3}{-3} = y - 2$
$x - 3 = -3(y - 2)$
$x - 3 = -3y + 6$
$x + 3y - 9 = 0$
Відповідь: $x + 3y - 9 = 0$.
311. Визначте коефіцієнти $a$ і $b$ у рівнянні прямої $ax + by - 2 = 0$, якщо вона проходить через точки $(1; 2)$ і $(2; 1)$.
Розв'язок:
Координати кожної точки задовольняють рівняння прямої:
$\begin{cases} a + 2b - 2 = 0, \\ 2a + b - 2 = 0. \end{cases}$
Віднімемо від першого рівняння друге:
$-a + b = 0$, тобто $b = a$.
Тоді $a + 2a - 2 = 0$
$3a = 2$
$a = \frac{2}{3}$, $b = \frac{2}{3}$.
Відповідь: $a = b = \frac{2}{3}$.