Сторінка 32
337. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку $M(3; 4)$ перпендикулярно до прямої:
1) $3x + y - 5 = 0$;
2) $BC$, де $B(0; 3)$, $C(3; 6)$.
Розв'язок:
1) $y = -3x + 5$, $k_1 = -3$; $k_1k_2 = -1$, тому $k_2 = \frac{1}{3}$.
$y - 4 = \frac{1}{3}(x - 3)$
$3y - 12 = x - 3$
$x - 3y + 9 = 0$
2) $k_{BC} = \frac{6 - 3}{3 - 0} = 1$, тому $k = -1$.
$y - 4 = -(x - 3)$
$y - 4 = -x + 3$
$x + y - 7 = 0$
Відповідь: 1) $x - 3y + 9 = 0$;
2) $x + y - 7 = 0$.
338. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку $N(-1; -2)$ перпендикулярно до прямої:
1) $7x - y + 1 = 0$;
2) $AD$, де $A(-1; 0)$, $D(4; -5)$.
Розв'язок:
1) $y = 7x + 1$, $k_1 = 7$, тому $k_2 = -\frac{1}{7}$.
$y + 2 = -\frac{1}{7}(x + 1)$
$7y + 14 = -x - 1$
$x + 7y + 15 = 0$
2) $k_{AD} = \frac{-5 - 0}{4 - (-1)} = \frac{-5}{5} = -1$, тому $k = 1$.
$y + 2 = x + 1$
$x - y - 1 = 0$
Відповідь: 1) $x + 7y + 15 = 0$;
2) $x - y - 1 = 0$.
339. Складіть рівняння прямої, що містить висоту $AH$ трикутника $ABC$, якщо $A(-1; 2)$, $B(4; 3)$, $C(6; 9)$.
Розв'язок:
Висота $AH$ перпендикулярна до прямої $BC$.
$k_{BC} = \frac{9 - 3}{6 - 4} = \frac{6}{2} = 3$, тому $k_{AH} = -\frac{1}{3}$.
$y - 2 = -\frac{1}{3}(x + 1)$
$3y - 6 = -x - 1$
$x + 3y - 5 = 0$
Відповідь: $x + 3y - 5 = 0$.
340. Складіть рівняння прямої, що містить висоту $BH$ трикутника $ABC$, якщо $A(0; -2)$, $B(3; 5)$, $C(2; -6)$.
Розв'язок:
Висота $BH$ перпендикулярна до прямої $AC$.
$k_{AC} = \frac{-6 - (-2)}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2$, тому $k_{BH} = \frac{1}{2}$.
$y - 5 = \frac{1}{2}(x - 3)$
$2y - 10 = x - 3$
$x - 2y + 7 = 0$
Відповідь: $x - 2y + 7 = 0$.
341. Дано точки $C(-4; 2)$ і $D(-2; 0)$. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку $C$ перпендикулярно до прямої $CD$.
Розв'язок:
$k_{CD} = \frac{0 - 2}{-2 - (-4)} = \frac{-2}{2} = -1$, тому кутовий коефіцієнт шуканої прямої $k = 1$.
$y - 2 = x + 4$
$x - y + 6 = 0$
Відповідь: $x - y + 6 = 0$.
342. Дано точки $A(2; 3)$ і $B(-1; 0)$. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку $B$ перпендикулярно до прямої $AB$.
Розв'язок:
$k_{AB} = \frac{0 - 3}{-1 - 2} = \frac{-3}{-3} = 1$, тому $k = -1$.
$y - 0 = -(x + 1)$
$x + y + 1 = 0$
Відповідь: $x + y + 1 = 0$.
343. Складіть рівняння прямої, яка є серединним перпендикуляром до прямої $MN$, якщо $M(-1; 0)$, $N(7; 4)$.
Розв'язок:
Серединний перпендикуляр проходить через середину $K$ відрізка $MN$ перпендикулярно до $MN$.
$x_K = \frac{-1 + 7}{2} = 3$;
$y_K = \frac{0 + 4}{2} = 2$.
$K(3; 2)$.
$k_{MN} = \frac{4 - 0}{7 - (-1)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$, тому $k = -2$.
$y - 2 = -2(x - 3)$
$y - 2 = -2x + 6$
$2x + y - 8 = 0$
Відповідь: $2x + y - 8 = 0$.
344. Точка $A$ – основа перпендикуляра, проведеного з точки $B(-6; 4)$ до прямої $4x - 5y + 3 = 0$. Знайдіть координати точки $A$.
Розв'язок:
$5y = 4x + 3$, $y = \frac{4}{5}x + \frac{3}{5}$; кутовий коефіцієнт даної прямої $\frac{4}{5}$.
Перпендикуляр $BA$ має кутовий коефіцієнт $k = -\frac{5}{4}$:
$y - 4 = -\frac{5}{4}(x + 6)$
$4y - 16 = -5x - 30$
$5x + 4y + 14 = 0$
Точка $A$ — точка перетину прямих:
$\begin{cases} 4x - 5y + 3 = 0, \\ 5x + 4y + 14 = 0. \end{cases}$
Помножимо перше рівняння на $4$, друге — на $5$ і додамо:
$16x + 12 + 25x + 70 = 0$
$41x = -82$
$x = -2$
$4 \cdot (-2) - 5y + 3 = 0$
$-5y = 5$
$y = -1$.
Відповідь: $A(-2; -1)$.