Сторінка 31
323. Серед прямих, що задані своїми рівняннями, укажіть пари паралельних прямих:
1) $4x + 6y - 9 = 0$;
2) $2x - y + 13 = 0$;
3) $x + 7y = 0$;
4) $8x - 4y = 0$;
5) $3x + 21y - 5 = 0$;
6) $2x + 3y + 11 = 0$.
Розв'язок:
Зведемо рівняння до вигляду $y = kx + l$:
1) $y = -\frac{2}{3}x + \frac{3}{2}$;
2) $y = 2x + 13$;
3) $y = -\frac{1}{7}x$;
4) $y = 2x$;
5) $y = -\frac{1}{7}x + \frac{5}{21}$;
6) $y = -\frac{2}{3}x - \frac{11}{3}$.
Прямі паралельні, якщо їхні кутові коефіцієнти рівні, а вільні члени різні:
1) і 6): $k = -\frac{2}{3}$;
2) і 4): $k = 2$;
3) і 5): $k = -\frac{1}{7}$.
Відповідь: 1) і 6);
2) і 4);
3) і 5).
324. Серед прямих, що задані своїми рівняннями, укажіть пари паралельних прямих:
1) $2x - y = 0$;
2) $3x + 5y - 16 = 0$;
3) $x + 3y = 0$;
4) $20x - 10y + 11 = 0$;
5) $2x + 6y - 11 = 0$;
6) $6x + 10y - 7 = 0$.
Розв'язок:
Зведемо рівняння до вигляду $y = kx + l$:
1) $y = 2x$;
2) $y = -\frac{3}{5}x + \frac{16}{5}$;
3) $y = -\frac{1}{3}x$;
4) $y = 2x + 1{,}1$;
5) $y = -\frac{1}{3}x + \frac{11}{6}$;
6) $y = -\frac{3}{5}x + \frac{7}{10}$.
Рівні кутові коефіцієнти (вільні члени різні):
1) і 4): $k = 2$;
2) і 6): $k = -\frac{3}{5}$;
3) і 5): $k = -\frac{1}{3}$.
Відповідь: 1) і 4);
2) і 6);
3) і 5).
325. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку $M(4; -5)$ паралельно прямій $y = -\frac{1}{3}x + 9$.
Розв'язок:
Паралельні прямі мають рівні кутові коефіцієнти, тому $k = -\frac{1}{3}$.
$y + 5 = -\frac{1}{3}(x - 4)$
$3y + 15 = -x + 4$
$x + 3y + 11 = 0$
Відповідь: $x + 3y + 11 = 0$.
326. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку $N(-1; -2)$ паралельно прямій $y = \frac{1}{5}x - 11$.
Розв'язок:
$k = \frac{1}{5}$.
$y + 2 = \frac{1}{5}(x + 1)$
$5y + 10 = x + 1$
$x - 5y - 9 = 0$
Відповідь: $x - 5y - 9 = 0$.
327. За якого значення $a$ точки $M(a; 2)$, $N(-5; 0)$ і $K(4; 9)$ лежать на одній прямій?
Розв'язок:
Рівняння прямої $NK$:
$\frac{x + 5}{4 + 5} = \frac{y - 0}{9 - 0}$
$\frac{x + 5}{9} = \frac{y}{9}$
$x + 5 = y$
$x - y + 5 = 0$
Точка $M(a; 2)$ лежить на прямій $NK$, якщо її координати задовольняють це рівняння:
$a - 2 + 5 = 0$
$a = -3$.
Відповідь: $a = -3$.
328. За якого значення $b$ точки $A(3; -1)$, $B(7; -5)$ та $C(2; b)$ лежать на одній прямій?
Розв'язок:
Рівняння прямої $AB$:
$\frac{x - 3}{7 - 3} = \frac{y + 1}{-5 + 1}$
$\frac{x - 3}{4} = \frac{y + 1}{-4}$
$x - 3 = -(y + 1)$
$x + y - 2 = 0$
Точка $C(2; b)$ лежить на прямій $AB$:
$2 + b - 2 = 0$
$b = 0$.
Відповідь: $b = 0$.
329. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку $M(3; -5)$ паралельно прямій $6x - 3y + 11 = 0$.
Розв'язок:
$3y = 6x + 11$, $y = 2x + \frac{11}{3}$, тому $k = 2$.
$y + 5 = 2(x - 3)$
$y + 5 = 2x - 6$
$2x - y - 11 = 0$
Відповідь: $2x - y - 11 = 0$.
330. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку $K(4; 3)$ паралельно прямій $4x + 2y - 7 = 0$.
Розв'язок:
$2y = -4x + 7$, $y = -2x + 3{,}5$, тому $k = -2$.
$y - 3 = -2(x - 4)$
$y - 3 = -2x + 8$
$2x + y - 11 = 0$
Відповідь: $2x + y - 11 = 0$.
331. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку $A(-1; 3)$ паралельно прямій $KL$, де $K(-1; 4)$, $L(-3; 6)$.
Розв'язок:
Кутовий коефіцієнт прямої $KL$:
$k = \frac{6 - 4}{-3 - (-1)} = \frac{2}{-2} = -1$.
Шукана пряма паралельна $KL$, тому має той самий кутовий коефіцієнт:
$y - 3 = -(x + 1)$
$y - 3 = -x - 1$
$x + y - 2 = 0$
Відповідь: $x + y - 2 = 0$.
332. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку $B(2; -5)$ паралельно прямій $MN$, де $M(0; 4)$, $N(2; 6)$.
Розв'язок:
$k = \frac{6 - 4}{2 - 0} = 1$.
$y + 5 = 1 \cdot (x - 2)$
$x - y - 7 = 0$
Відповідь: $x - y - 7 = 0$.
333. Знайдіть периметр та площу трикутника, обмеженого віссю абсцис та прямими $4x - 3y = 0$ і $8x + 15y - 168 = 0$.
Розв'язок:
Знайдемо вершини трикутника.
Пряма $4x - 3y = 0$ і вісь абсцис ($y = 0$): $4x = 0$, $x = 0$ — точка $O(0; 0)$.
Пряма $8x + 15y - 168 = 0$ і вісь абсцис: $8x = 168$, $x = 21$ — точка $B(21; 0)$.
Точка перетину прямих:
$\begin{cases} 4x - 3y = 0, \\ 8x + 15y - 168 = 0. \end{cases}$
З першого рівняння $y = \frac{4}{3}x$. Тоді
$8x + 15 \cdot \frac{4}{3}x - 168 = 0$
$8x + 20x = 168$
$28x = 168$
$x = 6$, $y = \frac{4}{3} \cdot 6 = 8$ — точка $A(6; 8)$.
Сторони трикутника:
$OB = 21$;
$OA = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$;
$AB = \sqrt{(21 - 6)^2 + (0 - 8)^2} =$
$= \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$.
$P = 21 + 10 + 17 = 48$.
Висота трикутника, проведена до сторони $OB$ (вона лежить на осі абсцис), дорівнює ординаті точки $A$, тобто $8$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 8 = 84$.
Відповідь: $P = 48$, $S = 84$.
334. Доведіть, що прямі, задані рівняннями $y = k_1x + l_1$ та $y = k_2x + l_2$, де $k_1 \ne 0$, $k_2 \ne 0$, перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли $k_1k_2 = -1$ (умова перпендикулярності прямих).
Доведення:
Нехай прямі утворюють з додатним напрямком осі $x$ кути $\alpha_1$ і $\alpha_2$; тоді $k_1 = \operatorname{tg}\alpha_1$, $k_2 = \operatorname{tg}\alpha_2$. Оскільки $k_1 \ne 0$, $k_2 \ne 0$, жодна з прямих не паралельна осі $x$, тобто $\alpha_1 \ne 0^\circ$, $\alpha_2 \ne 0^\circ$; рівняння вигляду $y = kx + l$ не задає пряму, паралельну осі $y$, тому $\alpha_1 \ne 90^\circ$, $\alpha_2 \ne 90^\circ$.
1) Нехай прямі перпендикулярні. Тоді одна з них утворює з додатним напрямком осі $x$ гострий кут $\alpha$ (позначимо її $y = k_1x + l_1$, $k_1 = \operatorname{tg}\alpha$), а друга, перпендикулярна до неї, — кут $90^\circ + \alpha$. Тоді
$k_2 = \operatorname{tg}(90^\circ + \alpha) =$
$= -\operatorname{tg}(180^\circ - (90^\circ + \alpha)) =$
$= -\operatorname{tg}(90^\circ - \alpha) =$
$= -\frac{\sin(90^\circ - \alpha)}{\cos(90^\circ - \alpha)} = -\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Отже, $k_1k_2 = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \left(-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right) = -1$.
2) Нехай $k_1k_2 = -1$. Тоді кутові коефіцієнти мають різні знаки; нехай $k_1 \gt 0$, тобто $k_1 = \operatorname{tg}\alpha$, де $\alpha$ — гострий кут. Тоді
$k_2 = -\frac{1}{k_1} = -\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \operatorname{tg}(90^\circ + \alpha)$.
Кожному значенню тангенса відповідає лише один кут від $0^\circ$ до $180^\circ$, тому друга пряма утворює з додатним напрямком осі $x$ кут $90^\circ + \alpha$. Кут між прямими дорівнює $(90^\circ + \alpha) - \alpha = 90^\circ$, тобто прямі перпендикулярні.
Що й треба було довести.
Під час розв'язування задач 335–344 радимо використовувати умову перпендикулярності прямих.
335. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку $B(-2; 7)$ перпендикулярно до прямої $y = \frac{1}{5}x - 9$.
Розв'язок:
Кутовий коефіцієнт даної прямої $k_1 = \frac{1}{5}$. Для перпендикулярної прямої $k_1k_2 = -1$:
$k_2 = -5$.
$y - 7 = -5(x + 2)$
$y - 7 = -5x - 10$
$5x + y + 3 = 0$
Відповідь: $5x + y + 3 = 0$.
336. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку $A(1; -2)$ перпендикулярно до прямої $y = -\frac{1}{2}x + 7$.
Розв'язок:
$k_1 = -\frac{1}{2}$, $k_1k_2 = -1$, тому $k_2 = 2$.
$y + 2 = 2(x - 1)$
$y + 2 = 2x - 2$
$2x - y - 4 = 0$
Відповідь: $2x - y - 4 = 0$.