: 2. Вектори на площині...стор. № 33-47

Сторінка 38

397. Дано: $M(-2; x)$, $N(y; 4)$, $K(0; 5)$, $L(-2; -7)$. Знайдіть $x$ та $y$, якщо $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{KL}$.

Розв'язок:

$\overrightarrow{MN}(y - (-2); 4 - x)$, тобто $\overrightarrow{MN}(y + 2; 4 - x)$;
$\overrightarrow{KL}(-2 - 0; -7 - 5)$, тобто $\overrightarrow{KL}(-2; -12)$.

Рівні вектори мають рівні відповідні координати:
$y + 2 = -2$, звідси $y = -4$;
$4 - x = -12$, звідси $x = 16$.

Відповідь: $x = 16$, $y = -4$.

398. Дано: $A(x; y)$, $B(-4; 5)$, $C(2; -5)$, $D(0; 7)$. Знайдіть $x$ та $y$, якщо $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.

Розв'язок:

$\overrightarrow{AB}(-4 - x; 5 - y)$;
$\overrightarrow{CD}(0 - 2; 7 - (-5))$, тобто $\overrightarrow{CD}(-2; 12)$.

$-4 - x = -2$, звідси $x = -2$;
$5 - y = 12$, звідси $y = -7$.

Відповідь: $x = -2$, $y = -7$.

399. Вектор $\vec{a}(5; -1)$ відкладений від точки $M(-3; 2)$. Знайдіть координати кінця вектора.

Розв'язок:

Нехай $P(x; y)$ — кінець вектора. Тоді $\overrightarrow{MP}(x + 3; y - 2) = \vec{a}(5; -1)$:
$x + 3 = 5$, звідси $x = 2$;
$y - 2 = -1$, звідси $y = 1$.

Відповідь: $(2; 1)$.

400. Вектор $\vec{b}(-1; 3)$ відкладений від точки $N(2; -4)$. Знайдіть координати кінця вектора.

Розв'язок:

Нехай $P(x; y)$ — кінець вектора. Тоді $\overrightarrow{NP}(x - 2; y + 4) = \vec{b}(-1; 3)$:
$x - 2 = -1$, звідси $x = 1$;
$y + 4 = 3$, звідси $y = -1$.

Відповідь: $(1; -1)$.

401. Точка $K(-1; 7)$ – кінець вектора $\vec{c}(0; 3)$. Знайдіть координати початку вектора.

Розв'язок:

Нехай $P(x; y)$ — початок вектора. Тоді $\overrightarrow{PK}(-1 - x; 7 - y) = \vec{c}(0; 3)$:
$-1 - x = 0$, звідси $x = -1$;
$7 - y = 3$, звідси $y = 4$.

Відповідь: $(-1; 4)$.

402. Точка $L(2; -6)$ – кінець вектора $\vec{d}(4; 0)$. Знайдіть координати початку вектора.

Розв'язок:

Нехай $P(x; y)$ — початок вектора. Тоді $\overrightarrow{PL}(2 - x; -6 - y) = \vec{d}(4; 0)$:
$2 - x = 4$, звідси $x = -2$;
$-6 - y = 0$, звідси $y = -6$.

Відповідь: $(-2; -6)$.

403. Дано точки $A(-5; 1)$, $B(3; -9)$. Знайдіть координати точки $C$ такої, що:

1) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BA}$;
2) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$.

Розв'язок:

Нехай $C(x; y)$. Тоді $\overrightarrow{AC}(x + 5; y - 1)$.

1) $\overrightarrow{BA}(-5 - 3; 1 - (-9))$, тобто $\overrightarrow{BA}(-8; 10)$.
$x + 5 = -8$, звідси $x = -13$;
$y - 1 = 10$, звідси $y = 11$.

2) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$, тому $C$ — середина відрізка $AB$:
$x = \frac{-5 + 3}{2} = -1$;
$y = \frac{1 + (-9)}{2} = -4$.

Відповідь: 1) $C(-13; 11)$;
2) $C(-1; -4)$.

404. Дано точки $C(3; -1)$, $D(1; -7)$. Знайдіть координати точки $K$ такої, що:

1) $\overrightarrow{KC} = \overrightarrow{CD}$;
2) $\overrightarrow{KC} = \overrightarrow{DK}$.

Розв'язок:

Нехай $K(x; y)$. Тоді $\overrightarrow{KC}(3 - x; -1 - y)$.

1) $\overrightarrow{CD}(1 - 3; -7 - (-1))$, тобто $\overrightarrow{CD}(-2; -6)$.
$3 - x = -2$, звідси $x = 5$;
$-1 - y = -6$, звідси $y = 5$.

2) $\overrightarrow{DK} = \overrightarrow{KC}$, тому $K$ — середина відрізка $DC$:
$x = \frac{1 + 3}{2} = 2$;
$y = \frac{-7 + (-1)}{2} = -4$.

Відповідь: 1) $K(5; 5)$;
2) $K(2; -4)$.

405. На малюнку 38: $ABCO$ – прямокутник, $AB = 8$, $BC = 3$, $M$ – середина $AB$. Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{CM}$ та його модуль.

Малюнок до завдання № 405 посібника Геометрія 9 клас

Розв'язок:

$OC = AB = 8$, $OA = BC = 3$, тому $C(8; 0)$, $A(0; 3)$, $B(8; 3)$. $M$ — середина $AB$: $M(4; 3)$.

$\overrightarrow{CM}(4 - 8; 3 - 0)$, тобто $\overrightarrow{CM}(-4; 3)$.

$|\overrightarrow{CM}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} =$
$= \sqrt{25} = 5$.

Відповідь: $\overrightarrow{CM}(-4; 3)$, $|\overrightarrow{CM}| = 5$.

406. На малюнку 39: $ABCO$ – квадрат зі стороною, що дорівнює 2. Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{AN}$, якщо $N$ – середина $BC$.

Малюнок до завдання № 406 посібника Геометрія 9 клас

Розв'язок:

$A(2; 0)$, $B(2; 2)$, $C(0; 2)$. $N$ — середина $BC$: $N(1; 2)$.

$\overrightarrow{AN}(1 - 2; 2 - 0)$, тобто $\overrightarrow{AN}(-1; 2)$.

Відповідь: $\overrightarrow{AN}(-1; 2)$.

407. У ромбі $ABCD$: $AC = 4$, $BD = 2$ (мал. 40). Знайдіть координати векторів $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CD}$.

Малюнок до завдання № 407 посібника Геометрія 9 клас

Розв'язок:

Діагоналі ромба точкою перетину $O$ діляться навпіл: $OA = OC = 2$, $OB = OD = 1$. Тому $A(-2; 0)$, $C(2; 0)$, $B(0; 1)$, $D(0; -1)$.

$\overrightarrow{AB}(0 - (-2); 1 - 0)$, тобто $\overrightarrow{AB}(2; 1)$;
$\overrightarrow{AC}(2 - (-2); 0 - 0)$, тобто $\overrightarrow{AC}(4; 0)$;
$\overrightarrow{BC}(2 - 0; 0 - 1)$, тобто $\overrightarrow{BC}(2; -1)$;
$\overrightarrow{CD}(0 - 2; -1 - 0)$, тобто $\overrightarrow{CD}(-2; -1)$.

Відповідь: $\overrightarrow{AB}(2; 1)$, $\overrightarrow{AC}(4; 0)$, $\overrightarrow{BC}(2; -1)$, $\overrightarrow{CD}(-2; -1)$.

408. Модуль вектора $\vec{a}(x; -24)$ дорівнює 25. Знайдіть $x$.

Розв'язок:

$\sqrt{x^2 + (-24)^2} = 25$
$x^2 + 576 = 625$
$x^2 = 49$
$x = 7$ або $x = -7$.

Відповідь: $x = -7$ або $x = 7$.

409. Модуль вектора $\vec{b}(15; y)$ дорівнює 17. Знайдіть $y$.

Розв'язок:

$\sqrt{15^2 + y^2} = 17$
$225 + y^2 = 289$
$y^2 = 64$
$y = 8$ або $y = -8$.

Відповідь: $y = -8$ або $y = 8$.

410. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник $KLMN$ є паралелограмом, якщо $K(-2; 3)$, $L(1; 5)$, $M(3; 1)$, $N(0; -1)$.

Розв'язок:

$\overrightarrow{KL}(1 - (-2); 5 - 3)$, тобто $\overrightarrow{KL}(3; 2)$;
$\overrightarrow{NM}(3 - 0; 1 - (-1))$, тобто $\overrightarrow{NM}(3; 2)$.

$\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{NM}$, тому $KL \parallel NM$ і $KL = NM$. Чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні й рівні, — паралелограм. Отже, $KLMN$ — паралелограм, що й треба було довести.

Малюнок до завдання № 410 посібника Геометрія 9 клас

411. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник $ABCD$ є паралелограмом, якщо $A(-3; 5)$, $B(0; 7)$, $C(1; 2)$, $D(-2; 0)$.

Розв'язок:

$\overrightarrow{AB}(0 - (-3); 7 - 5)$, тобто $\overrightarrow{AB}(3; 2)$;
$\overrightarrow{DC}(1 - (-2); 2 - 0)$, тобто $\overrightarrow{DC}(3; 2)$.

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, тому $AB \parallel DC$ і $AB = DC$. Отже, $ABCD$ — паралелограм, що й треба було довести.

Малюнок до завдання № 411 посібника Геометрія 9 клас

412. Дано паралелограм $ABCD$, $A(-1; 5)$, $B(4; 0)$, $C(0; 9)$. Знайдіть за допомогою векторів координати вершини $D$.

Розв'язок:

Нехай $D(x; y)$. У паралелограмі $ABCD$ $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.

$\overrightarrow{AD}(x + 1; y - 5)$;
$\overrightarrow{BC}(0 - 4; 9 - 0)$, тобто $\overrightarrow{BC}(-4; 9)$.

$x + 1 = -4$, звідси $x = -5$;
$y - 5 = 9$, звідси $y = 14$.

Малюнок до завдання № 412 посібника Геометрія 9 клас

Відповідь: $D(-5; 14)$.

413. Дано паралелограм $KLMN$, $K(2; -3)$, $L(-1; -5)$, $M(0; 4)$. Знайдіть за допомогою векторів координати вершини $N$.

Розв'язок:

Нехай $N(x; y)$. У паралелограмі $KLMN$ $\overrightarrow{KN} = \overrightarrow{LM}$.

$\overrightarrow{KN}(x - 2; y + 3)$;
$\overrightarrow{LM}(0 - (-1); 4 - (-5))$, тобто $\overrightarrow{LM}(1; 9)$.

$x - 2 = 1$, звідси $x = 3$;
$y + 3 = 9$, звідси $y = 6$.

Малюнок до завдання № 413 посібника Геометрія 9 клас

Відповідь: $N(3; 6)$.