: 2. Вектори на площині...стор. № 33-47

Сторінка 39

414. Модуль вектора $\vec{a}(x; y)$ дорівнює $\sqrt{13}$. Знайдіть координати вектора $\vec{a}$, якщо координата $x$ цього вектора на 1 менша від координати $y$.

Розв'язок:

$x = y - 1$, $x^2 + y^2 = 13$:
$(y - 1)^2 + y^2 = 13$
$2y^2 - 2y - 12 = 0$
$y^2 - y - 6 = 0$
$y = 3$ або $y = -2$.

Тоді $x = 2$ або $x = -3$.

Відповідь: $\vec{a}(2; 3)$ або $\vec{a}(-3; -2)$.

415. Модуль вектора $\vec{b}(x; y)$ дорівнює $\sqrt{17}$. Знайдіть координати вектора $\vec{b}$, якщо координата $x$ цього вектора на 3 більша за координату $y$.

Розв'язок:

$x = y + 3$, $x^2 + y^2 = 17$:
$(y + 3)^2 + y^2 = 17$
$2y^2 + 6y - 8 = 0$
$y^2 + 3y - 4 = 0$
$y = 1$ або $y = -4$.

Тоді $x = 4$ або $x = -1$.

Відповідь: $\vec{b}(4; 1)$ або $\vec{b}(-1; -4)$.

416. Модуль вектора $\vec{c}(x; y)$ дорівнює 13, причому одна з координат цього вектора у 2,4 раза більша за іншу. Знайдіть координати вектора $\vec{c}$.

Розв'язок:

Нехай $x = 2{,}4y$. Тоді $x^2 + y^2 = 169$:
$5{,}76y^2 + y^2 = 169$
$6{,}76y^2 = 169$
$y^2 = 25$
$y = 5$ або $y = -5$.

Тоді $x = 12$ або $x = -12$: $\vec{c}(12; 5)$ або $\vec{c}(-12; -5)$.

Якщо $y = 2{,}4x$, то так само $x = \pm 5$, $y = \pm 12$: $\vec{c}(5; 12)$ або $\vec{c}(-5; -12)$.

Відповідь: $\vec{c}(12; 5)$, або $\vec{c}(5; 12)$, або $\vec{c}(-12; -5)$, або $\vec{c}(-5; -12)$.

417. Модуль вектора $\vec{m}(x; y)$ дорівнює 10, а одна з координат відноситься до іншої як $3 : 4$. Знайдіть координати вектора $\vec{m}$.

Розв'язок:

Нехай $x = 3k$, $y = 4k$. Тоді $x^2 + y^2 = 100$:
$9k^2 + 16k^2 = 100$
$25k^2 = 100$
$k^2 = 4$
$k = 2$ або $k = -2$.

Отже, $\vec{m}(6; 8)$ або $\vec{m}(-6; -8)$.

Якщо $x = 4k$, $y = 3k$, то так само $k = \pm 2$: $\vec{m}(8; 6)$ або $\vec{m}(-8; -6)$.

Відповідь: $\vec{m}(6; 8)$, або $\vec{m}(8; 6)$, або $\vec{m}(-6; -8)$, або $\vec{m}(-8; -6)$.

418. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами в точках $A(1; 3)$, $B(4; 4)$, $C(7; 3)$, $D(4; 2)$ є ромбом.

Розв'язок:

$\overrightarrow{AB}(4 - 1; 4 - 3)$, тобто $\overrightarrow{AB}(3; 1)$;
$\overrightarrow{DC}(7 - 4; 3 - 2)$, тобто $\overrightarrow{DC}(3; 1)$.

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, тому $AB \parallel DC$ і $AB = DC$. Отже, $ABCD$ — паралелограм.

$\overrightarrow{AD}(4 - 1; 2 - 3)$, тобто $\overrightarrow{AD}(3; -1)$.
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$;
$|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$.

Сусідні сторони паралелограма $ABCD$ рівні, тому $ABCD$ — ромб, що й треба було довести.

Малюнок до завдання № 418 посібника Геометрія 9 клас

419. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами в точках $A(5; 0)$, $B(1; 0)$, $C(1; 5)$, $D(5; 5)$ є прямокутником.

Розв'язок:

$\overrightarrow{AB}(1 - 5; 0 - 0)$, тобто $\overrightarrow{AB}(-4; 0)$;
$\overrightarrow{DC}(1 - 5; 5 - 5)$, тобто $\overrightarrow{DC}(-4; 0)$.

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, тому $ABCD$ — паралелограм.

$\overrightarrow{AC}(1 - 5; 5 - 0)$, тобто $\overrightarrow{AC}(-4; 5)$;
$\overrightarrow{BD}(5 - 1; 5 - 0)$, тобто $\overrightarrow{BD}(4; 5)$.
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2} = \sqrt{41}$;
$|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{41}$.

Діагоналі паралелограма $ABCD$ рівні, тому $ABCD$ — прямокутник, що й треба було довести.

Малюнок до завдання № 419 посібника Геометрія 9 клас

420. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами в точках $A(6; 4)$, $B(3; 5)$, $C(2; 2)$, $D(5; 1)$ є квадратом.

Розв'язок:

$\overrightarrow{AB}(3 - 6; 5 - 4)$, тобто $\overrightarrow{AB}(-3; 1)$;
$\overrightarrow{DC}(2 - 5; 2 - 1)$, тобто $\overrightarrow{DC}(-3; 1)$.

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, тому $ABCD$ — паралелограм.

$\overrightarrow{AD}(5 - 6; 1 - 4)$, тобто $\overrightarrow{AD}(-1; -3)$.
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10}$;
$|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$.

Сусідні сторони рівні, тому $ABCD$ — ромб.

$\overrightarrow{AC}(2 - 6; 2 - 4)$, тобто $\overrightarrow{AC}(-4; -2)$;
$\overrightarrow{BD}(5 - 3; 1 - 5)$, тобто $\overrightarrow{BD}(2; -4)$.
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20}$;
$|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{20}$.

Діагоналі ромба $ABCD$ рівні, тому він є й прямокутником. Ромб, що є прямокутником, — квадрат. Отже, $ABCD$ — квадрат, що й треба було довести.

Малюнок до завдання № 420 посібника Геометрія 9 клас

Додавання та віднімання векторів

421. Знайдіть суму векторів $\vec{a} + \vec{b}$, якщо:

1) $\vec{a}(4; -1)$, $\vec{b}(2; 4)$;
2) $\vec{a}(-9; 11)$, $\vec{b}(9; -6)$.

Розв'язок:

1) $\vec{a} + \vec{b}(4 + 2; -1 + 4)$, тобто $\vec{a} + \vec{b}(6; 3)$.

2) $\vec{a} + \vec{b}(-9 + 9; 11 + (-6))$, тобто $\vec{a} + \vec{b}(0; 5)$.

Відповідь: 1) $(6; 3)$;
2) $(0; 5)$.

422. Знайдіть суму векторів $\vec{c} + \vec{d}$, якщо:

1) $\vec{c}(-4; 7)$, $\vec{d}(6; 1)$;
2) $\vec{c}(2; -9)$, $\vec{d}(0; 9)$.

Розв'язок:

1) $\vec{c} + \vec{d}(-4 + 6; 7 + 1)$, тобто $\vec{c} + \vec{d}(2; 8)$.

2) $\vec{c} + \vec{d}(2 + 0; -9 + 9)$, тобто $\vec{c} + \vec{d}(2; 0)$.

Відповідь: 1) $(2; 8)$;
2) $(2; 0)$.

423. Знайдіть різницю векторів $\vec{c} - \vec{d}$, якщо:

1) $\vec{c}(4; -5)$, $\vec{d}(6; -5)$;
2) $\vec{c}(2; 7)$, $\vec{d}(1; 10)$.

Розв'язок:

1) $\vec{c} - \vec{d}(4 - 6; -5 - (-5))$, тобто $\vec{c} - \vec{d}(-2; 0)$.

2) $\vec{c} - \vec{d}(2 - 1; 7 - 10)$, тобто $\vec{c} - \vec{d}(1; -3)$.

Відповідь: 1) $(-2; 0)$;
2) $(1; -3)$.

424. Знайдіть різницю векторів $\vec{a} - \vec{b}$, якщо:

1) $\vec{a}(3; -2)$, $\vec{b}(3; -4)$;
2) $\vec{a}(8; 9)$, $\vec{b}(2; 18)$.

Розв'язок:

1) $\vec{a} - \vec{b}(3 - 3; -2 - (-4))$, тобто $\vec{a} - \vec{b}(0; 2)$.

2) $\vec{a} - \vec{b}(8 - 2; 9 - 18)$, тобто $\vec{a} - \vec{b}(6; -9)$.

Відповідь: 1) $(0; 2)$;
2) $(6; -9)$.

425. На яких малюнках 41–45 вектор $\vec{c}$ є сумою векторів $\vec{a} + \vec{b}$, а на яких – різницею $\vec{a} - \vec{b}$?

Малюнок до завдання № 425 посібника Геометрія 9 клас

Розв'язок:

Мал. 41: вектори $\vec{a}$ і $\vec{b}$ мають спільний початок, а $\vec{c}$ іде від кінця $\vec{a}$ до кінця $\vec{b}$, тому $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b}$, тобто $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}$ — не сума і не різниця $\vec{a} - \vec{b}$.

Мал. 42: $\vec{c}$ — діагональ паралелограма, побудованого на векторах $\vec{a}$ і $\vec{b}$ зі спільним початком, тому $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ (правило паралелограма).

Мал. 43: $\vec{a}$ і $\vec{b}$ мають спільний початок, а $\vec{c}$ іде від кінця $\vec{b}$ до кінця $\vec{a}$, тому $\vec{b} + \vec{c} = \vec{a}$, тобто $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$.

Мал. 44: вектор $\vec{b}$ відкладено від кінця вектора $\vec{a}$, а $\vec{c}$ іде від початку $\vec{a}$ до кінця $\vec{b}$, тому $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ (правило трикутника).

Мал. 45: вектори $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ відкладено один за одним, і кінець $\vec{c}$ збігся з початком $\vec{a}$, тому $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$, тобто $\vec{c} = -(\vec{a} + \vec{b})$ — не сума і не різниця.

Відповідь: сума — на мал. 42 і 44;
різниця — на мал. 43;
на мал. 41 і 45 — ні те, ні інше.

426. Накресліть вектори $\overrightarrow{AK}$ і $\overrightarrow{BL}$. Побудуйте вектор, що є сумою цих векторів за правилом:

1) трикутника;
2) паралелограма.

Розв'язок:

1) Від кінця вектора $\overrightarrow{AK}$ (точки $K$) відкладемо вектор $\overrightarrow{KM} = \overrightarrow{BL}$. За правилом трикутника:
$\overrightarrow{AK} + \overrightarrow{BL} =$
$= \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{KM} = \overrightarrow{AM}$.

Малюнок до завдання № 426 посібника Геометрія 9 клас

2) Від точки $A$ відкладемо вектор $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{BL}$ і добудуємо паралелограм $AKMN$. За правилом паралелограма:
$\overrightarrow{AK} + \overrightarrow{BL} =$
$= \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AM}$.

Малюнок до завдання № 426 посібника Геометрія 9 клас

Відповідь: 1), 2) $\overrightarrow{AK} + \overrightarrow{BL} = \overrightarrow{AM}$.