Сторінка 41
442. $ABCD$ – паралелограм. Знайдіть суму векторів:
1) $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA}$;
2) $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}$;
3) $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB}$;
4) $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC}$.
Розв'язок:
Переставимо доданки так, щоб кінець кожного вектора був початком наступного, і застосуємо правило трикутника. У паралелограмі $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA}$.
1) $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} =$
$= \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} =$
$= \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$.
2) $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} =$
$= \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} =$
$= \overrightarrow{BB} = \vec{0}$.
3) $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB} =$
$= (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}) + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} =$
$= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} =$
$= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{AB}$.
4) $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} =$
$= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} =$
$= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}$.
Відповідь: 1) $\overrightarrow{CB}$;
2) $\vec{0}$;
3) $\overrightarrow{AB}$;
4) $\vec{0}$.
443. $ABCD$ – паралелограм. Знайдіть суму векторів:
1) $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC}$;
2) $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC}$.
Розв'язок:
1) $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC} =$
$= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} =$
$= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}$.
2) У паралелограмі $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$, тому:
$\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} =$
$= \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} =$
$= \overrightarrow{CC} = \vec{0}$.
Відповідь: 1) $\overrightarrow{AB}$;
2) $\vec{0}$.
444. Дано точки $M(0; -6)$ і $N(4; 8)$. Знайдіть координати точки $K$ такої, що $\overrightarrow{MK} - \overrightarrow{KN} = \vec{0}$.
Розв'язок:
$\overrightarrow{MK} - \overrightarrow{KN} = \vec{0}$, тому $\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{KN}$. Отже, точка $K$ — середина відрізка $MN$:
$x = \frac{0 + 4}{2} = 2$;
$y = \frac{-6 + 8}{2} = 1$.
Відповідь: $K(2; 1)$.
445. Дано точки $P(10; 0)$ і $L(-2; 6)$. Знайдіть координати точки $A$ такої, що $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{LA} = \vec{0}$.
Розв'язок:
$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{LA} = \vec{0}$, тому $\overrightarrow{PA} = -\overrightarrow{LA} = \overrightarrow{AL}$. Отже, точка $A$ — середина відрізка $PL$:
$x = \frac{10 + (-2)}{2} = 4$;
$y = \frac{0 + 6}{2} = 3$.
Відповідь: $A(4; 3)$.
446. Дано вектори $\vec{m}(4; 0)$, $\vec{n}(x; -4)$, $\vec{k}(6; 8)$, $\vec{a} = \vec{m} - \vec{n} + \vec{k}$. Для якого значення $x$ модуль вектора $\vec{a}$ найменший?
Розв'язок:
$\vec{a}(4 - x + 6; 0 - (-4) + 8)$, тобто $\vec{a}(10 - x; 12)$.
$|\vec{a}| = \sqrt{(10 - x)^2 + 12^2}$.
Оскільки $(10 - x)^2 \ge 0$, модуль найменший, коли $10 - x = 0$, тобто $x = 10$ (тоді $|\vec{a}| = 12$).
Відповідь: $x = 10$.
447. Дано вектори $\vec{a}(-2; y)$, $\vec{b}(7; 2)$, $\vec{c}(0; 8)$, $\vec{m} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$. Для якого значення $y$ модуль вектора $\vec{m}$ найменший?
Розв'язок:
$\vec{m}(-2 + 7 - 0; y + 2 - 8)$, тобто $\vec{m}(5; y - 6)$.
$|\vec{m}| = \sqrt{5^2 + (y - 6)^2}$.
Оскільки $(y - 6)^2 \ge 0$, модуль найменший, коли $y - 6 = 0$, тобто $y = 6$ (тоді $|\vec{m}| = 5$).
Відповідь: $y = 6$.
448. Чи може бути нульовим вектором сума трьох векторів, модулі яких дорівнюють:
1) $4$; $7$; $12$;
2) $4$; $5$; $9$;
3) $7$; $3$; $5$?
Розв'язок:
Відкладемо вектори один за одним: від кінця першого — другий, від кінця другого — третій. Сума дорівнює $\vec{0}$, якщо кінець третього вектора збігається з початком першого, тобто вектори утворюють трикутник (або лежать на одній прямій). Для цього найбільший модуль не може бути більшим за суму двох інших.
1) $4 + 7 = 11$, $12 \gt 11$ — не може.
2) $4 + 5 = 9$ — може (вектори колінеарні: два однаково напрямлені, третій — протилежно).
3) $3 + 5 = 8$, $7 \lt 8$ — може (вектори утворюють трикутник).
Відповідь: 1) ні;
2) так;
3) так.
449. Чи може бути нульовим вектором сума трьох векторів, модулі яких дорівнюють:
1) $9$; $8$; $7$;
2) $12$; $2$; $9$;
3) $10$; $6$; $4$?
Розв'язок:
Сума трьох векторів дорівнює $\vec{0}$, якщо, відкладені один за одним, вони утворюють трикутник (або лежать на одній прямій), тобто найбільший модуль не більший за суму двох інших.
1) $8 + 7 = 15$, $9 \lt 15$ — може.
2) $2 + 9 = 11$, $12 \gt 11$ — не може.
3) $6 + 4 = 10$ — може (вектори колінеарні).
Відповідь: 1) так;
2) ні;
3) так.
450. Дано $\vec{a}(4; -2)$. Знайдіть:
1) $2\vec{a}$;
2) $-3\vec{a}$;
3) $\frac{1}{2}\vec{a}$;
4) $-\vec{a}$;
5) $3{,}5\vec{a}$;
6) $-1{,}5\vec{a}$.
Розв'язок:
Щоб помножити вектор на число, кожну його координату множимо на це число.
1) $2\vec{a}(2 \cdot 4; 2 \cdot (-2))$, тобто $2\vec{a}(8; -4)$.
2) $-3\vec{a}(-3 \cdot 4; -3 \cdot (-2))$, тобто $-3\vec{a}(-12; 6)$.
3) $\frac{1}{2}\vec{a}(\frac{1}{2} \cdot 4; \frac{1}{2} \cdot (-2))$, тобто $\frac{1}{2}\vec{a}(2; -1)$.
4) $-\vec{a}(-4; 2)$.
5) $3{,}5\vec{a}(3{,}5 \cdot 4; 3{,}5 \cdot (-2))$, тобто $3{,}5\vec{a}(14; -7)$.
6) $-1{,}5\vec{a}(-1{,}5 \cdot 4; -1{,}5 \cdot (-2))$, тобто $-1{,}5\vec{a}(-6; 3)$.
Відповідь: 1) $(8; -4)$;
2) $(-12; 6)$;
3) $(2; -1)$;
4) $(-4; 2)$;
5) $(14; -7)$;
6) $(-6; 3)$.
451. Дано $\vec{b}(2; -6)$. Знайдіть:
1) $3\vec{b}$;
2) $-\vec{b}$;
3) $1{,}5\vec{b}$;
4) $-\frac{1}{2}\vec{b}$;
5) $4{,}5\vec{b}$;
6) $-4\vec{b}$.
Розв'язок:
1) $3\vec{b}(3 \cdot 2; 3 \cdot (-6))$, тобто $3\vec{b}(6; -18)$.
2) $-\vec{b}(-2; 6)$.
3) $1{,}5\vec{b}(1{,}5 \cdot 2; 1{,}5 \cdot (-6))$, тобто $1{,}5\vec{b}(3; -9)$.
4) $-\frac{1}{2}\vec{b}(-\frac{1}{2} \cdot 2; -\frac{1}{2} \cdot (-6))$, тобто $-\frac{1}{2}\vec{b}(-1; 3)$.
5) $4{,}5\vec{b}(4{,}5 \cdot 2; 4{,}5 \cdot (-6))$, тобто $4{,}5\vec{b}(9; -27)$.
6) $-4\vec{b}(-4 \cdot 2; -4 \cdot (-6))$, тобто $-4\vec{b}(-8; 24)$.
Відповідь: 1) $(6; -18)$;
2) $(-2; 6)$;
3) $(3; -9)$;
4) $(-1; 3)$;
5) $(9; -27)$;
6) $(-8; 24)$.
452. Співнапрямлені чи протилежно напрямлені вектори $\vec{c}$ і $\vec{d}$, якщо:
1) $\vec{c} = 2\vec{d}$;
2) $\vec{d} = -\vec{c}$;
3) $\vec{d} = \frac{1}{8}\vec{c}$;
4) $\vec{d} = -7\vec{c}$?
Розв'язок:
Вектор $k\vec{a}$ співнапрямлений з вектором $\vec{a}$, якщо $k \gt 0$, і протилежно напрямлений, якщо $k \lt 0$.
1) $2 \gt 0$ — співнапрямлені.
2) $-1 \lt 0$ — протилежно напрямлені.
3) $\frac{1}{8} \gt 0$ — співнапрямлені.
4) $-7 \lt 0$ — протилежно напрямлені.
Відповідь: 1), 3) співнапрямлені;
2), 4) протилежно напрямлені.
453. Співнапрямлені чи протилежно напрямлені вектори $\vec{m}$ і $\vec{n}$, якщо:
1) $\vec{m} = \frac{1}{3}\vec{n}$;
2) $\vec{n} = -0{,}25\vec{m}$;
3) $\vec{m} = -\vec{n}$;
4) $\vec{n} = 4\vec{m}$?
Розв'язок:
1) $\frac{1}{3} \gt 0$ — співнапрямлені.
2) $-0{,}25 \lt 0$ — протилежно напрямлені.
3) $-1 \lt 0$ — протилежно напрямлені.
4) $4 \gt 0$ — співнапрямлені.
Відповідь: 1), 4) співнапрямлені;
2), 3) протилежно напрямлені.
454. На малюнку 51 задано вектор $\vec{p}$. Побудуйте вектор:
1) $1{,}5\vec{p}$;
2) $-\vec{p}$;
3) $\frac{1}{3}\vec{p}$;
4) $-2\vec{p}$;
5) $3\vec{p}$;
6) $-0{,}5\vec{p}$.
Розв'язок:
Довжина вектора $\vec{p}$ — 6 клітинок, напрямок — праворуч. Вектор $k\vec{p}$ має довжину $|k| \cdot 6$ клітинок і напрямлений праворуч, якщо $k \gt 0$, та ліворуч, якщо $k \lt 0$.
1) $1{,}5 \cdot 6 = 9$ клітинок праворуч.
2) 6 клітинок ліворуч.
3) $\frac{1}{3} \cdot 6 = 2$ клітинки праворуч.
4) $2 \cdot 6 = 12$ клітинок ліворуч.
5) $3 \cdot 6 = 18$ клітинок праворуч.
6) $0{,}5 \cdot 6 = 3$ клітинки ліворуч.
