Завдання № 7 ДР-3 [6М] Варіант 2

Діагностична робота (сторінка 31)

Тема: Квадратна нерівність. Розв’язування систем двох рівнянь з двома змінними та задач за допомогою систем рівнянь

Знайдіть область визначення функції $y=\frac{\sqrt{5-x^{2}+4x}}{x-3}$.

Розв’язок:

Формула функції має зміст, якщо підкореневий вираз невід’ємний, а знаменник не дорівнює нулю. Отже, область визначення функції — множина розв’язків системи:

$\begin{cases} 5-x^{2}+4x\geq0, \\ x-3\neq0. \end{cases}$

1) Розв’яжемо нерівність $5-x^{2}+4x\geq0$. Знайдемо корені квадратного тричлена $-x^{2}+4x+5$:

$-x^{2}+4x+5=0;$

$x^{2}-4x-5=0;$

$x_{1}=-1$, $x_{2}=5$ (за теоремою, оберненою до теореми Вієта).

Графіком функції $y=-x^{2}+4x+5$ є парабола, гілки якої спрямовані вниз. Знак нерівності нестрогий, тому корені позначаємо зафарбованими точками. Число $3$, за якого знаменник дорівнює нулю, позначаємо «виколотою» точкою:

Парабола лежить вище від осі $x$ або на ній, якщо $x \in \lbrack-1;5\rbrack$.

2) З умови $x-3\neq0$ маємо $x\neq3$. Вилучимо число $3$ з проміжку $\lbrack-1;5\rbrack$:

$D(y)=\lbrack-1;3) \cup (3;5\rbrack.$

Відповідь:

$\lbrack-1;3) \cup (3;5\rbrack.$