Завдання № 8 ДР-3 [6М] Варіант 2

Діагностична робота (сторінка 31)

Тема: Квадратна нерівність. Розв’язування систем двох рівнянь з двома змінними та задач за допомогою систем рівнянь

Із двох пунктів, відстань між якими $18$ км, одночасно назустріч одна одній вирушили дві туристки і зустрілися через $2$ год. Знайдіть швидкість кожної туристки, якщо одна з них витрачає на весь шлях на $3$ год менше, ніж інша.

Нехай $x$ км/год — швидкість першої туристки, яка витрачає на весь шлях на $3$ год менше, а $y$ км/год — швидкість другої туристки.

За $2$ год туристки разом подолали $18$ км, тому $2x+2y=18$.

Перша туристка на весь шлях витрачає $\frac{18}{x}$ год, а друга — $\frac{18}{y}$ год. За умовою $\frac{18}{y}-\frac{18}{x}=3$.

Маємо систему рівнянь:

$\begin{cases} 2x+2y=18, \\ \frac{18}{y}-\frac{18}{x}=3; \end{cases}$

$\begin{cases} y=9-x, \\ \frac{18}{9-x}-\frac{18}{x}=3. \end{cases}$

Розв’яжемо друге рівняння системи. Помножимо обидві його частини на $x(9-x)$, де $x\neq0$ і $x\neq9$:

$18x-18(9-x)=3x(9-x);$

$18x-162+18x=27x-3x^{2};$

$3x^{2}+9x-162=0;$

$x^{2}+3x-54=0;$

$D=3^{2}-4\cdot1\cdot(-54)=$

$=9+216=225;$

$x_{1}=\frac{-3-15}{2}=-9$, $x_{2}=\frac{-3+15}{2}=6$.

Число $-9$ не задовольняє умову задачі, бо швидкість не може бути від’ємною. Отже, $x=6$, тоді $y=9-6=3$.

Перевірка: $\frac{18}{3}-\frac{18}{6}=6-3=3$ (год).

$6$ км/год і $3$ км/год.