Завдання № 9 ДР-4 [8М] Варіант 1

Діагностична робота (сторінка 38)

Тема: Числові послідовності

За яких значень $x$ числа $x-1$, $x+1$ і $3x-1$ є послідовними членами геометричної прогресії? Знайдіть ці числа.

Розв’язок:

Якщо числа $x-1$, $x+1$ і $3x-1$ є послідовними членами геометричної прогресії, то за властивістю геометричної прогресії квадрат середнього з них дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів: $b_{2}^{2}=b_{1}\cdot b_{3}$. Маємо рівняння:

$(x+1)^{2}=(x-1)(3x-1);$

$x^{2}+2x+1=3x^{2}-x-3x+1;$

$3x^{2}-4x+1-x^{2}-2x-1=0;$

$2x^{2}-6x=0;$

$2x(x-3)=0;$

$x=0$ або $x=3$.

Знайдемо ці числа для кожного значення $x$ і перевіримо, що всі вони відмінні від нуля (члени геометричної прогресії не можуть дорівнювати нулю):

1) якщо $x=0$, то $x-1=-1$, $x+1=1$, $3x-1=-1$; маємо геометричну прогресію $-1$; $1$; $-1$ зі знаменником $q=-1$;

2) якщо $x=3$, то $x-1=2$, $x+1=4$, $3x-1=8$; маємо геометричну прогресію $2$; $4$; $8$ зі знаменником $q=2$.

Відповідь:

якщо $x=0$, то $-1$; $1$; $-1$; якщо $x=3$, то $2$; $4$; $8$.